Determine os pontos da superfície y^2=9+x que estão mais próximos da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar os pontos na superfície definida pela equação $ y^{2} = 9 + x $ que estão mais próximos da origem (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como distância entre pontos e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre um ponto qualquer (x, y) e a origem (0,0) é dada por:
d = raizx^2 + y^2
Mas, para facilitar os cálculos, podemos trabalhar com o quadrado da distância, d^2 = x^2 + y^2, já que a distância mínima vai ocorrer no mesmo ponto onde o quadrado da distância é mínimo.

Passo 3

Agora, como a equação da superfície é $ y^{2} = 9 + x $, podemos expressar $ x $ em função de $ y $:
y^2 = 9 + x
Assim, podemos substituir esse valor de $ x $ na expressão do quadrado da distância:
x

Passo 4

Agora, nosso objetivo é encontrar o valor de $ y $ que minimiza essa expressão. Para isso, vamos derivar $ d^{2} $ em relação a $ y $ e igualar a derivada a zero. Isso nos dará os pontos onde a distância é mínima.
Primeiro, vamos expandir a expressão:
y

Passo 5

Agora, derivamos $ d^{2} $ em relação a $ y $:
d^2
Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:
y
Fatorando:
d(d^2)dy = 4y^3 - 34y
Assim, temos duas possibilidades:
  1. $ y = 0 $
  2. $ 4y^{2} - 34 = 0 $ 4y^3 - 34y = 0 $ y^{2} = \frac{34}{4} = 8.5 $ y(4y^2 - 34) = 0 $ y = \pm \sqrt{8.5} $

Passo 6

Vamos analisar cada caso:
  1. Para $ y = 0 $:
    y = 0
    Então, o ponto é x = (0)^2 - 9 = -9 .
  2. Para $ y = \sqrt{8.5} $:
    (-9, 0)
    Então, o ponto é y = raiz8.5 .
  3. Para $ y = -\sqrt{8.5} $:
    x = (8.5) - 9 = -0.5
    Então, o ponto é (-0.5, raiz8.5).

Passo 7

Agora, vamos calcular a distância de cada um desses pontos à origem para verificar qual é a menor:
  1. Para (-9, 0): d^2 = (-9)^2 + 0^2 = 81
  2. Para (-0.5, raiz8.5): d^2 = (-0.5)^2 + (8.5) = 0.25 + 8.5 = 8.75
  3. Para (-0.5, -raiz8.5): d^2 = (-0.5)^2 + (8.5) = 0.25 + 8.5 = 8.75
Comparando, os pontos (-0.5, raiz8.5) e (-0.5, -raiz8.5) têm distância menor que (-9, 0).

Resposta

Os pontos da superfície $ y^{2} = 9 + x $ que estão mais próximos da origem são y^2 = 9 + x e (-12, raiz8,5).

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