Determine os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar os pontos na superfície definida pela equação $ y^{2} = 9 + x $ que estão mais próximos da origem (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como distância entre pontos e otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre um ponto qualquer
e a origem
é dada por:
Mas, para facilitar os cálculos, podemos trabalhar com o quadrado da distância,
, já que a distância mínima vai ocorrer no mesmo ponto onde o quadrado da distância é mínimo.
Passo 3
Agora, como a equação da superfície é $ y^{2} = 9 + x $, podemos expressar $ x $ em função de $ y $:
Assim, podemos substituir esse valor de $ x $ na expressão do quadrado da distância:
Passo 4
Agora, nosso objetivo é encontrar o valor de $ y $ que minimiza essa expressão. Para isso, vamos derivar $ d^{2} $ em relação a $ y $ e igualar a derivada a zero. Isso nos dará os pontos onde a distância é mínima.
Primeiro, vamos expandir a expressão:
Passo 5
Agora, derivamos $ d^{2} $ em relação a $ y $:
Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:
Fatorando:
Assim, temos duas possibilidades:
- $ y = 0 $
- $ 4y^{2} - 34 = 0 $
$ y^{2} = \frac{34}{4} = 8.5 $ $ y = \pm \sqrt{8.5} $
Passo 6
Vamos analisar cada caso:
-
Para $ y = 0 $:Então, o ponto é
. -
Para $ y = \sqrt{8.5} $:Então, o ponto é
. -
Para $ y = -\sqrt{8.5} $:Então, o ponto é
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a distância de cada um desses pontos à origem para verificar qual é a menor:
- Para
: - Para
: - Para
:
Comparando, os pontos
e
têm distância menor que
.
Resposta
Os pontos da superfície $ y^{2} = 9 + x $ que estão mais próximos da origem são
e
.