Três cargas elétricas puntiformes estão distribuidas no plano cartesiano ( x , \mathrm{y}, \mathrm{z} ). As cargas e suas respectivas posições são: \mathrm{q}_{\mathrm{A}}=-\mathrm{q} no ponto \mathrm{A}(1,0,0), \mathrm{q}_{\mathrm{B}}=+2 \mathrm{q} no ponto \mathrm{B}(0,0,0), \mathrm{q}_{\mathrm{c}}=+3 \mathrm{q} no ponto \mathrm{C}(0,1,0), onde as coordenadas estão em metros (m).
Calcule a energia dessa configuração de cargas U. Alguém gastou/ganhou energia para criar essa distribuição? (0.5 Ponto)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia da configuração de três cargas puntiformes e dizer se alguém gastou ou ganhou energia ao montá-la. Dados fornecidos (coordenadas em metros):
  • Carga q_A = -q localizada em A(1,0,0).
  • Carga q_B = +2q localizada em B(0,0,0).
  • Carga q_C = +3q localizada em C(0,1,0).
O que é pedido:
  • Calcular a energia eletrostática total U da configuração.
  • Dizer se foi preciso gastar energia ou se houve liberação de energia ao montar essa distribuição.

Passo 2

Qual é a fórmula que vamos usar e por quê — aula rápida e sem enrolação.
A energia potencial eletrostática (energia de configuração) de um conjunto de N cargas puntiformes é dada pela soma das energias de interação de todos os pares de cargas. A expressão padrão é
U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i<j}\frac{q_i q_j}{r_{ij}},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo;
  • q_i e q_j são as cargas dos pontos i e j (em coulombs);
  • r_{ij} é a distância entre as cargas i e j (em metros);
  • o fator \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} normalmente é denotado por k (constante eletrostática), com k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}98755\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
Por que essa fórmula faz sentido (intuição): trazer uma carga desde o infinito até sua posição na presença de outras exige trabalho; esse trabalho, somado para todas as etapas (ou somado pelos pares), resulta nessa soma sobre pares. Não se conta “autoenergia” de cargas pontuais — apenas interações entre pares.

Passo 3

Calcular as distâncias entre os pares de cargas a partir das coordenadas dadas (aqui eu peguei as coordenadas do enunciado).
Distâncias:
  • Entre A(1,0,0) e B(0,0,0):
r_{AB}=\sqrt{(1-0)^2+(0-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{1}=1\\ \text{m}.
  • Entre B(0,0,0) e C(0,1,0):
r_{BC}=\sqrt{(0-0)^2+(0-1)^2+(0-0)^2}=\sqrt{1}=1\\ \text{m}.
  • Entre A(1,0,0) e C(0,1,0):
r_{AC}=\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2+(0-0)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular os produtos de cargas de cada par (peguei os sinais e valores do enunciado).
  • q_A q_B = (-q)\cdot(2q) = -2q^2.
  • q_A q_C = (-q)\cdot(3q) = -3q^2.
  • q_B q_C = (2q)\cdot(3q) = 6q^2.

Passo 5

Aplicar a fórmula da energia somando os pares:
U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_A q_B}{r_{AB}}+\frac{q_A q_C}{r_{AC}}+\frac{q_B q_C}{r_{BC}}\right).
Substituindo os valores de q_i q_j e r_{ij}:
U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{-2q^2}{1}+\frac{-3q^2}{\sqrt{2}}+\frac{6q^2}{1}\right).
Agrupando q^2:
U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q^2\left(-2 -\frac{3}{\sqrt{2}} +6\right).
Simplificando os termos numéricos:
-2+6=4,
portanto
U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q^2\left(4-\frac{3}{\sqrt{2}}\right).

Passo 6

Interpretação do sinal e valor numérico aproximado (para intuição):
Calculemos a constante numérica dentro dos parênteses:
\frac{3}{\sqrt{2}}\approx\frac{3}{1{,}4142}\approx 2{,}1213,
logo
4-\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 4-2{,}1213\approx 1{,}8787.
Assim podemos escrever também
U\approx\left(1{,}8787\right)\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q^2 \approx 1{,}8787\;k\,q^2,
com k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}98755\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}. Se for útil:
U\approx 1{,}687\times10^{10}\,q^2\quad(\text{unidades: J se }q\text{ em C}),
onde o número 1{,}687\times10^{10} foi obtido multiplicando 1{,}8787 por k.
Como o valor de U é positivo ( 4-\tfrac{3}{\sqrt{2}}>0), isso significa que, no total, foi necessário fornecer energia externa para montar essa configuração. Em outras palavras: alguém gastou energia para juntar as cargas nas posições dadas; essa energia ficou armazenada como energia potencial eletrostática do sistema.

Passo 7

Resumo físico e dica prática para prova (curto e direto): ao montar cargas com sinais mistos, somam-se as contribuições atração/repulsão; o sinal de cada termo é dado por q_i q_j. Para avaliar se foi necessário gastar ou se houve liberação, veja o sinal de U: U>0 → energia fornecida pela fonte externa; U<0 → energia liberada pelo sistema.

Resposta

U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q^2\left(4-\frac{3}{\sqrt{2}}\right)
Sim — foi necessário fornecer energia para montar a distribuição (ou seja, alguém gastou energia, pois U>0).

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