Considere os vetores de R^3, u=[c1 1 -2], v=[l3 0 4]. Determine qual dos seguintes vetores é combinação linear de u e v :
w2=[c3 1 -4]

Passo 1

O enunciado dá os vetores em R^3
u = 11-2, v = 304
e pergunta se
w2 = 31-4
é combinação linear de u e v. O conteúdo aqui é testar se existe alpha,betainR tais que
alpha,u + beta,v = w2

Passo 2

Escrevemos a equação vetorial componente a componente:
alphacdot1 + betacdot3 = 3, alphacdot1 + betacdot0 = 1, alphacdot(-2) + betacdot4 = -4
Isto gera o sistema
alpha + 3beta = 3, alpha = 1, -2alpha + 4beta = -4

Passo 3

Da segunda equação já vemos que
alpha = 1

Passo 4

Substituindo alpha=1 na primeira equação:
1 + 3beta = 3 Longrightarrow 3beta = 2 Longrightarrow beta = 23

Passo 5

Verificamos agora a terceira equação com alpha=1 e beta=tfrac23:
-2cdot1 + 4cdot23 = -2 + 83 = -6+83 = 23 neq -4
Não há como satisfazer a terceira linha do sistema, logo não existem alpha,beta que façam
alpha,u+beta,v=w2.

Resposta

O vetor w2 não é combinação linear de u e v.

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