Completar a tabela resíduos módulo 11 com seus respectivos inversos.
Inversos
Resíduo Inverso Módulo 11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Passo 1

O enunciado pede para completar a tabela dos resíduos não nulos módulo 11 com seus inversos multiplicativos. Estamos em Aritmética Modular e precisamos achar, para cada ain1,2,dots,10, um b tal que
acdot b equiv 1 pmod11

Passo 2

Por definição, o inverso de um resíduo a módulo 11 é o número b em 1,2,dots,10 que satisfaz
acdot b equiv 1 pmod11
Podemos encontrar b testando ou usando o algoritmo de Euclides estendido, mas para módulo pequeno é mais rápido testar produtos.

Passo 3

Para 1 e 10 é imediato:
1cdot 1 = 1 equiv 1pmod11, 10cdot10 = 100 equiv 1pmod11
Logo
1^-1equiv1, 10^-1equiv10

Passo 4

Para 2 buscamos b tal que 2bequiv1pmod11. Testando, 2cdot6=12equiv1pmod11. Assim
2^-1equiv6, 6^-1equiv2

Passo 5

Para 3 queremos 3bequiv1pmod11. Como 3cdot4=12equiv1pmod11, segue
3^-1equiv4, 4^-1equiv3

Passo 6

Para 5 temos 5bequiv1pmod11. Vê-se que 5cdot9=45equiv1pmod11, portanto
5^-1equiv9, 9^-1equiv5

Passo 7

Para 7 buscamos 7bequiv1pmod11. De fato 7cdot8=56equiv1pmod11, logo
7^-1equiv8, 8^-1equiv7

Resposta

1to1, 2to6, 3to4, 4to3, 5to9, 6to2, 7to8, 8to7, 9to5, 10to10

Exercícios relacionados