Considere os vetores de
dados a seguir:
Determine se possível, os valores de
e
para que cada item abaixo seja verdadeiro.
é L.I.
Passo 1
O enunciado dá quatro matrizes (vetores em
):
A pergunta que precisamos responder é: quais valores de
fazem com que o conjunto
seja linearmente independente (L.I.)?
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
- As entradas de
e estão explícitas; note que a linha superior de é e a de é . -
aparece apenas em ; aqui o conjunto em análise é , então pode ou não influenciar a resposta.]
Passo 2
Lembrete didático do conceito: dois vetores (ou matrizes vistas como vetores)
e
são linearmente dependentes se existe um escalar
tal que
. Caso não exista tal
, os vetores são linearmente independentes. Para pares, isso é simples: verificar se um é múltiplo escalar do outro.
Vou aplicar isso aqui: vou testar se existe
tal que
Se existir
e for possível para certas escolhas de
, então nesses casos o conjunto é L.D.; caso contrário (ou seja, se não for possível), o conjunto é L.I.
Passo 3
Escrevo a igualdade componente a componente. Se
, então devem valer as igualdades entre entradas correspondentes. A linha superior dá imediatamente:
Comparando a primeira coordenada da linha superior, obtemos
Verifico a segunda coordenada da linha superior para consistência:
que é consistente com
. Então, se houver dependência, obrigatoriamente
.
Passo 4
Agora uso
nas entradas da segunda linha. A segunda linha de
é
Portanto, para que
seja verdade, a segunda linha de
deve ser
. A segunda linha de
é
. Logo as condições para dependência são:
Passo 5
Resolvo as condições obtidas:
e
Portanto,
se, e somente se,
e
simultaneamente.
Passo 6
Conclusão lógica (didática): os vetores
e
são linearmente dependentes exatamente quando
e
. Em qualquer outro caso (ou seja, sempre que pelo menos um entre
e
for diferente de zero) não existe escalar
fazendo
, então
e
são linearmente independentes.
Observação sobre
: a variável
aparece apenas em
, que não participa do conjunto pedido
. Logo
é irrelevante para este item; pode ser qualquer número real.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar (apenas para entender, não são exigidos pela resposta):
- Se
e (qualquer ), então tem segunda linha , logo é L.I. - Se
e , então e o conjunto é L.D.