Considere os vetores de M_{2}(R) dados a seguir:
v_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\ 0 & 0\end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{rr}2 & x \\\ -1 & 0\end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{rr}-1 & -2 \y & 2\end{array}\right) \quad \text { e } \quad v_{4}=\left(\begin{array}{rr}2 & 4 \\\ 2 y & z\end{array}\right) .
Determine se possível, os valores de x, y e z para que cada item abaixo seja verdadeiro.
\left\{v_{1}, v_{4}\right\} é L.I.

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes (vetores em M_{2}(\mathbb{R})):
v_{1}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}2 & x\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix},\quad v_{3}=\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt]y & 2\end{pmatrix},\quad v_{4}=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]2y & z\end{pmatrix}.
A pergunta que precisamos responder é: quais valores de x,y,z fazem com que o conjunto \{v_{1},v_{4}\} seja linearmente independente (L.I.)?
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
  • As entradas de v_{1} e v_{4} estão explícitas; note que a linha superior de v_{4} é (2,4) e a de v_{1} é (1,2).
  • x aparece apenas em v_{2}; aqui o conjunto em análise é \{v_{1},v_{4}\}, então x pode ou não influenciar a resposta.]

Passo 2

Lembrete didático do conceito: dois vetores (ou matrizes vistas como vetores) u e w são linearmente dependentes se existe um escalar \lambda tal que w=\lambda u. Caso não exista tal \lambda, os vetores são linearmente independentes. Para pares, isso é simples: verificar se um é múltiplo escalar do outro.
Vou aplicar isso aqui: vou testar se existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
v_{4}=\lambda v_{1}.
Se existir \lambda e for possível para certas escolhas de y,z, então nesses casos o conjunto é L.D.; caso contrário (ou seja, se não for possível), o conjunto é L.I.

Passo 3

Escrevo a igualdade componente a componente. Se v_{4}=\lambda v_{1}, então devem valer as igualdades entre entradas correspondentes. A linha superior dá imediatamente:
(2,4)=\lambda(1,2).
Comparando a primeira coordenada da linha superior, obtemos
2=\lambda\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad \lambda=2.
Verifico a segunda coordenada da linha superior para consistência:
4=\lambda\cdot 2 = 2\cdot 2 =4,
que é consistente com \lambda=2. Então, se houver dependência, obrigatoriamente \lambda=2.

Passo 4

Agora uso \lambda=2 nas entradas da segunda linha. A segunda linha de \lambda v_{1} é
2\cdot(0,0)=(0,0).
Portanto, para que v_{4}=2v_{1} seja verdade, a segunda linha de v_{4} deve ser (0,0). A segunda linha de v_{4} é (2y,z). Logo as condições para dependência são:
2y=0\quad\text{e}\quad z=0.

Passo 5

Resolvo as condições obtidas:
2y=0\quad\Rightarrow\quad y=0,
e
z=0.
Portanto, v_{4}=2v_{1} se, e somente se, y=0 e z=0 simultaneamente.

Passo 6

Conclusão lógica (didática): os vetores v_{1} e v_{4} são linearmente dependentes exatamente quando y=0 e z=0. Em qualquer outro caso (ou seja, sempre que pelo menos um entre y e z for diferente de zero) não existe escalar \lambda fazendo v_{4}=\lambda v_{1}, então v_{1} e v_{4} são linearmente independentes.
Observação sobre x: a variável x aparece apenas em v_{2}, que não participa do conjunto pedido \{v_{1},v_{4}\}. Logo x é irrelevante para este item; pode ser qualquer número real.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar (apenas para entender, não são exigidos pela resposta):
  • Se y=1 e z=0 (qualquer x), então v_{4} tem segunda linha (2,0)\neq(0,0), logo \{v_{1},v_{4}\} é L.I.
  • Se y=0 e z=0, então v_{4}=2v_{1} e o conjunto é L.D.

Resposta

x pode ser qualquer número real.
\{v_{1},v_{4}\} é linearmente independente sse (y,z)\neq(0,0) (ou seja, não ambos zero).

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