4 Determine a equação geral do plano que contém o ponto A(4,3,2) e a reta
r:\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\\ y=1-t \\\ z=5+t \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o ponto A(4,3,2)\) e a reta \[r:\begin{cases} x=1+t\\[4pt] y=1-t\\[4pt] z=5+t \end{cases}
com parâmetro t\in\mathbb{R}\]. O que o problema pede: determinar a equação geral do plano que contém o ponto \(A e a reta r.
Informações relevantes dadas: as coordenadas de A e a forma paramétrica da reta r (que fornece um ponto da reta e o seu vetor direção).]

Passo 2

Escolher um ponto qualquer da reta r para trabalhar. Tomamos t=0 (escolha simples e válida) e obtemos o ponto
P_0 = (1,1,5).
Expliquei isso porque a reta é dada por x=1+t,\;y=1-t,\;z=5+t; substituindo t=0 obtemos x=1,\;y=1,\;z=5.

Passo 3

Extrair o vetor direção da reta r. Observando os coeficientes de t na parametrização vemos que o vetor direção é
\mathbf{v} = (1,-1,1).
(Outra forma de ver: subtraia dois pontos da reta, por exemplo o ponto em t=1, que é (2,0,6), menos o ponto em t=0, que é (1,1,5); o resultado é (1,-1,1).)

Passo 4

Construir um segundo vetor que esteja no plano: o vetor que vai de P_0 até A. Calculamos
\mathbf{w} = \overrightarrow{P_0A} = A - P_0 = (4-1,\;3-1,\;2-5) = (3,2,-3).
Esse vetor \mathbf{w} liga um ponto da reta (logo está no plano) ao ponto A (também no plano), portanto \mathbf{w} fica no mesmo plano.

Passo 5

Explicar a ideia do normal do plano e como obtê-lo: o plano é determinado por dois vetores não colineares que estão nele (aqui \mathbf{v} e \mathbf{w}). O vetor normal \mathbf{n} ao plano é perpendicular a todos os vetores do plano; em particular é perpendicular a \mathbf{v} e a \mathbf{w}. Para obter \mathbf{n} usamos o produto vetorial (cross product) entre \mathbf{v} e \mathbf{w}.
Lembrete/mini‑aula sobre produto vetorial: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) temos
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \bigl(a_2b_3 - a_3b_2,\; a_3b_1 - a_1b_3,\; a_1b_2 - a_2b_1\bigr).
Cada componente é uma diferença de produtos que garante que o resultado seja ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.
Aplicando com \mathbf{v}=(1,-1,1) e \mathbf{w}=(3,2,-3):
\mathbf{n} = \mathbf{v}\times\mathbf{w} = \bigl((-1)\cdot(-3) - 1\cdot 2,\; 1\cdot 3 - 1\cdot(-3),\; 1\cdot 2 - (-1)\cdot 3\bigr).
Agora calculamos cada entrada passo a passo:
\text{1ª componente: } (-1)(-3) - 1\cdot 2 = 3 - 2 = 1,ª
\text{2ª componente: } 1\cdot 3 - 1\cdot(-3) = 3 + 3 = 6,ª
\text{3ª componente: } 1\cdot 2 - (-1)\cdot 3 = 2 + 3 = 5.ª
Portanto
\mathbf{n} = (1,6,5).

Passo 6

Montar a equação do plano a partir do vetor normal. Se \mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3) é normal ao plano e P=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação vetorial do plano é
\mathbf{n}\cdot (x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0) = 0,
ou seja o produto escalar é zero (significa perpendicularidade).
Escolhemos usar o ponto A(4,3,2). Substituindo \mathbf{n}=(1,6,5) e A na expressão:
(1,6,5)\cdot (x-4,\;y-3,\;z-2)=0.
Calculando o produto escalar:
1\cdot(x-4) + 6\cdot(y-3) + 5\cdot(z-2) = 0.
Expandindo:
x-4 + 6y -18 + 5z -10 = 0.
Reunindo termos:
x + 6y + 5z -32 = 0.

Passo 7

Verificações rápidas (para ganhar segurança na prova):
  • Verificar que o vetor direção \mathbf{v} da reta é ortogonal a \mathbf{n}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v} = (1,6,5)\cdot(1,-1,1) = 1 -6 +5 = 0,
portanto a reta é paralela ao plano (ou contida nele) conforme esperado.
  • Verificar que P_0=(1,1,5) pertence à equação: 1 + 6\cdot1 + 5\cdot5 = 1+6+25=32, ok.
  • Verificar que A também satisfaz: 4 + 6\cdot3 + 5\cdot2 = 4+18+10=32, ok.

Resposta

x + 6y + 5z - 32 = 0

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