5 Calcule a distância entre as retas
r_{1}: x=y=-z
e
r_{2}:\left\{\begin{array}{l} y=x+1 \\\ z=2 x-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas no espaço. Informações dadas:
r_{1}: x=y=-z
r_{2}:\begin{cases} y=x+1 \\\ z=2x-1 \end{cases}
Pergunta: qual é a distância mínima entre um ponto qualquer de r_{1} e um ponto qualquer de r_{2} (ou seja, a distância entre as retas)?

Passo 2

Primeiro vamos escrever as retas em forma vetorial/paramétrica para ficar mais claro.
Para r_{1}: como x=y=-z, podemos tomar parâmetro t e escrever
x=t,\quad y=t,\quad z=-t.
Logo um ponto genérico de r_{1} é \bigl(t,t,-t\bigr). Podemos escolher como ponto particular P_1 o ponto para t=0:
P_{1}=(0,0,0).
O vetor diretor de r_{1} é
\mathbf{u}=(1,1,-1).
Para r_{2}: tomando parâmetro s com x=s, temos
y=s+1,\quad z=2s-1.
Um ponto genérico de r_{2} é \bigl(s,s+1,2s-1\bigr). Tomamos como ponto particular P_2 o de s=0:
P_{2}=(0,1,-1).
O vetor diretor de r_{2} é
\mathbf{v}=(1,1,2).

Passo 3

Agora a ideia geométrica/ fórmula que vamos usar. O vetor \mathbf{u}\times\mathbf{v} é perpendicular a ambas as retas (ele é normal ao plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}). Se chamarmos de \mathbf{w} o vetor que liga um ponto de r_{1} a um ponto de r_{2}, a distância entre as retas é o comprimento da componente de \mathbf{w} na direção de \mathbf{u}\times\mathbf{v}. Formalmente:
\text{dist}(r_1,r_2)=\frac{\bigl|\mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\bigr|}{\bigl\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr\|},
onde \mathbf{w}=P_{2}-P_{1}, \cdot é produto escalar e \times é produto vetorial. Explico rápido os símbolos:
  • \mathbf{u}\times\mathbf{v} dá um vetor perpendicular às duas direções.
  • \mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) é um triplo produto escalar que mede (em módulo) a “altura” do paralelogramo/três vetores — aqui dá a área base vezes a altura, que leva à distância.
  • Dividimos pela norma de \mathbf{u}\times\mathbf{v} para obter a altura (distância).

Passo 4

Calculemos \mathbf{u}\times\mathbf{v}. Com \mathbf{u}=(1,1,-1) e \mathbf{v}=(1,1,2),
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \bigl(1\cdot2-(-1)\cdot1,\; -\bigl(1\cdot2-(-1)\cdot1\bigr),\;1\cdot1-1\cdot1\bigr).
Calculando componente a componente:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(3,-3,0).

Passo 5

Calculemos a norma de \mathbf{u}\times\mathbf{v}:
\bigl\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr\|=\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+0^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.

Passo 6

Calculemos \mathbf{w}=P_{2}-P_{1}. Com P_{1}=(0,0,0) e P_{2}=(0,1,-1),
\mathbf{w}=(0,1,-1).
Agora o produto escalar \mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}):
\mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(0,1,-1)\cdot(3,-3,0)=0\cdot3+1\cdot(-3)+(-1)\cdot0=-3.
O módulo é |-3|=3.

Passo 7

Aplicando a fórmula da distância:
\text{dist}(r_1,r_2)=\frac{\bigl|\mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\bigr|}{\bigl\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr\|} =\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Respira! A distância entre as retas é \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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