O enunciado pede a distância entre duas retas no espaço. Informações dadas:
r_{1}: x=y=-z
r_{2}:\begin{cases} y=x+1 \\\ z=2x-1 \end{cases}
Pergunta: qual é a distância mínima entre um ponto qualquer de r_{1} e um ponto qualquer de r_{2} (ou seja, a distância entre as retas)?
Passo 2
Primeiro vamos escrever as retas em forma vetorial/paramétrica para ficar mais claro.
Para r_{1}: como x=y=-z, podemos tomar parâmetro t e escrever
x=t,\quad y=t,\quad z=-t.
Logo um ponto genérico de r_{1} é \bigl(t,t,-t\bigr). Podemos escolher como ponto particular P_1 o ponto para t=0:
P_{1}=(0,0,0).
O vetor diretor de r_{1} é
\mathbf{u}=(1,1,-1).
Para r_{2}: tomando parâmetro s com x=s, temos
y=s+1,\quad z=2s-1.
Um ponto genérico de r_{2} é \bigl(s,s+1,2s-1\bigr). Tomamos como ponto particular P_2 o de s=0:
P_{2}=(0,1,-1).
O vetor diretor de r_{2} é
\mathbf{v}=(1,1,2).
Passo 3
Agora a ideia geométrica/ fórmula que vamos usar. O vetor \mathbf{u}\times\mathbf{v} é perpendicular a ambas as retas (ele é normal ao plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}). Se chamarmos de \mathbf{w} o vetor que liga um ponto de r_{1} a um ponto de r_{2}, a distância entre as retas é o comprimento da componente de \mathbf{w} na direção de \mathbf{u}\times\mathbf{v}. Formalmente:
onde \mathbf{w}=P_{2}-P_{1}, \cdot é produto escalar e \times é produto vetorial. Explico rápido os símbolos:
\mathbf{u}\times\mathbf{v} dá um vetor perpendicular às duas direções.
\mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) é um triplo produto escalar que mede (em módulo) a “altura” do paralelogramo/três vetores — aqui dá a área base vezes a altura, que leva à distância.
Dividimos pela norma de \mathbf{u}\times\mathbf{v} para obter a altura (distância).
Passo 4
Calculemos \mathbf{u}\times\mathbf{v}. Com \mathbf{u}=(1,1,-1) e \mathbf{v}=(1,1,2),