Mostre que \mathcal{A} e \mathcal{B} são bases de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2} respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que \mathcal{A} e \mathcal{B} são bases de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2}, respetivamente.
Informações dadas no enunciado: apenas a afirmação acima.
Informações que faltam (necessárias para resolver concretamente): os elementos (os vetores) que compõem \mathcal{A} e \mathcal{B}. Sem saber quais são os vetores de cada conjunto não é possível calcular determinantes, fazer eliminação ou verificar independência/geração de forma concreta.
Passo 2
O que significa provar que um conjunto é uma base — enunciado claro e sem formalidade técnica complicada:
Uma coleção de vetores é uma base de \mathbb{R}^{n} quando satisfaz duas condições ao mesmo tempo:
é linearmente independente; e
gera \mathbb{R}^{n} (ou seja, qualquer vetor de \mathbb{R}^{n} pode ser escrito como combinação linear desses vetores).
Explicação prática das duas condições:
Linearmente independente: não existe uma combinação linear não-trivial (coeficientes nem todos zero) que dê o vetor zero. Em palavras: nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Gera (spanning): os vetores, combinados com coeficientes reais, conseguem alcançar qualquer vetor do espaço.
Observação prática: para conjuntos com exatamente n vetores em \mathbb{R}^{n} (por exemplo, 3 vetores em \mathbb{R}^{3} ou 2 vetores em \mathbb{R}^{2}), basta verificar uma das condições (independência ou geração), porque para n vetores em \mathbb{R}^{n} as duas são equivalentes: se são independentes então geram e vice‑versa. Isso simplifica bastante na prova.
Passo 3
Método direto e rápido para \mathcal{A}\subset\mathbb{R}^{3} (quando \mathcal{A} tem exatamente três vetores): usar determinante de matriz 3\times3.
Como aplicar:
Organize os três vetores como colunas de uma matriz 3\times3. Por exemplo, se os vetores são \,v_{1}=(a_{1},a_{2},a_{3}), v_{2}=(b_{1},b_{2},b_{3}), v_{3}=(c_{1},c_{2},c_{3}), forme a matriz
Calcule o determinante \det(M). Se \det(M)\neq 0, então as colunas são linearmente independentes e, como são 3 vetores em \mathbb{R}^{3}, elas formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
Breve comentário intuitivo sobre o determinante: \det(M) mede (até sinal) o volume do paralelepípedo gerado pelas colunas. Volume zero significa que os vetores estão no mesmo plano (ou linha) e, portanto, são linearmente dependentes.
Fórmula prática (regra de Sarrus) para cálculo de \det(M) quando precisar fazer à mão:
Expliquei cada termo para você entender de onde vem e como proceder passo a passo na prova.]
Passo 4
Método alternativo (útil se você não gosta de determinantes): eliminação de Gauss (redução por linhas) para obter o posto (rank).
Como aplicar:
Faça a matriz com os vetores como colunas (ou linhas) e aplique operações elementares de linha até chegar a uma forma escalonada por linhas.
Conte o número de pivôs (linhas não nulas) — isso é o posto da matriz.
Se o posto for 3 em \mathbb{R}^{3}, as colunas são independentes e geram \mathbb{R}^{3} (logo são base).
Esse método é prático quando o determinante é trabalhoso ou quando você já está habituado a fazer eliminação.
Dica prática na prova: ao fazer eliminação, prefira criar zeros abaixo do primeiro pivô, depois abaixo do segundo, e assim por diante; mantenha as contas simples (multiplique/subtraia linhas inteiras quando possível) para não errar nos sinais.
Passo 5
Caso \mathcal{B}\subset\mathbb{R}^{2} (quando \mathcal{B} tem exatamente dois vetores): use o determinante 2\times2 ou a verificação de múltiplo escalar.
Como aplicar com determinante:
Se os vetores são \,w_{1}=(p,q) e w_{2}=(r,s), calcule
Se ps-qr\neq 0, então w_{1} e w_{2} são linearmente independentes e, como são dois vetores em \mathbb{R}^{2}, formam uma base.
Como aplicar com múltiplo escalar:
Verifique se existe \lambda\in\mathbb{R} tal que w_{1}=\lambda w_{2}. Se não existir, então são independentes (e portanto base). Se existir, são dependentes e não formam base.]
Passo 6
Exemplos ilustrativos (não são \mathcal{A} nem \mathcal{B}, apenas para você treinar o procedimento):
Exemplo em \mathbb{R}^{3}: vetores (1,2,3),(4,5,6),(7,8,10). Matriz
logo esses três vetores formam base de \mathbb{R}^{3}.
Exemplo em \mathbb{R}^{2}: vetores (1,2) e (3,4). Determinante 1\cdot4-2\cdot3=-2\neq0, logo são base de \mathbb{R}^{2}.]
Passo 7
Resumo prático que você deve aplicar na prova, passo a passo (sem usar calculadora intensiva):
Conte quantos vetores tem o conjunto. Se são n vetores em \mathbb{R}^{n}, basta provar independência (ou posto n).
Para \mathbb{R}^{3} com 3 vetores: forme a matriz 3\times3 com as colunas sendo os vetores e calcule \det. Se for não nulo, conclua que é base. Se preferir, faça eliminação e verifique posto 3.
Para \mathbb{R}^{2} com 2 vetores: calcule o determinante 2\times2 ou verifique se os vetores não são múltiplos um do outro.
Escreva claramente: “As colunas têm determinante não-nulo, portanto são linearmente independentes; como há n vetores em \mathbb{R}^{n}, eles geram \mathbb{R}^{n}; logo formam base.”
Resposta
Não é possível concluir porque os vetores que formam \mathcal{A} e \mathcal{B} não foram fornecidos.