Considere os vetores x^(1)(t)=binomt^22 t, x^(2)(t)=binome^te^t.
Encontre este sistema de equações satisfeito pelos vetores.

Passo 1

O enunciado dá duas soluções vetoriais de um sistema linear de primeira ordem homogêneo
e
.
O conteúdo é teoria de sistemas lineares não necessariamente com coeficientes constantes. Para achar o sistema
cujo espaço de soluções é gerado por e , vamos montar a matriz fundamental e usar
.

Passo 2

Definimos a matriz fundamental
X(t)=l[x^(1)(t);;x^(2)(t)r] =t^2 & e^t2t & e^t
Então
X'(t)=2t & e^t2 & e^t,
e do sistema X'=A,X segue
A(t)=X'(t),X(t)^-1

Passo 3

Calculamos o determinante de X(t):
det X(t)=t^2cdot e^t - 2tcdot e^t =e^t,(t^2-2t) =e^t,t,(t-2)
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X(t)^-1 =1det X(t) e^t & -e^t-2t & t^2 =1e^t,t,(t-2) e^t & -e^t-2t & t^2

Passo 4

Agora calculamos
A(t) = X'(t),X(t)^-1 = 2t & e^t2 & e^t 1e^t,t,(t-2) e^t & -e^t-2t & t^2
Multiplicando e simplificando, obtemos
A(t) = 0 & 1 [6pt] 2-2tt,(t-2) & t^2-2t,(t-2)
Portanto o sistema é
x'(t) = 0 & 1 [4pt] 2-2tt,(t-2) & t^2-2t,(t-2) x(t) ]

Resposta

x1' = x2, [6pt] x2' = 2-2tt,(t-2),x1 + t^2-2t,(t-2),x2 ]

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