Se a função está definida em , então a derivada à esquerda de em , denotada por , é definida por:
caso este limite exista.

Passo 1

O enunciado pede a definição da derivada à esquerda de f em um ponto x1. O conteúdo é cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada lateral. Para resolver, precisamos lembrar da ideia de quociente incremental e do limite unidirecional.

Passo 2

A derivada à esquerda de f em x1 mede a taxa de variação de f quando x se aproxima de x1 por valores menores. Por definição, usa-se o incremento De<a x tendendo a zero por valores negativos:
f-^prime(x1) =limDe<a xto 0^-fl(x1+De<a xr)-f(x1)De<a x

Passo 3

Para ver a forma alternativa, faça a troca de variável
x = x1 + De<a x Longrightarrow De<a x = x - x1
Quando De<a xto 0^-, tem-se xto x1^-. Substituindo no quociente:
f(x1+De<a x)-f(x1)De<a x =f(x)-f(x1)x-x1,
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f-^prime(x1) =limxto x1^-f(x)-f(x1)x - x1

Resposta

f-^prime(x1) =limDe<a xto 0^-f(x1+De<a x)-f(x1)De<a x =limxto x1^-f(x)-f(x1)x - x1

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