Considere os vetores A=(rr1 & 1 0 & -1), B=(rr1 & 1 -1 & 0), C=(rr1 & -1 0 & 0), do espaço vetorial M2 times 2(R). Faça o que se pede:
Escreva E1=(ll3 & -1 1 & -2) como combinação linear de A, B e C.

Passo 1

O enunciado pede para escrever
E1 = 3 & -1 [6pt] 1 & -2
como combinação linear de
A = 1 & 1 [3pt] 0 & -1, B = 1 & 1 [3pt] -1 & 0, C = 1 & -1 [3pt] 0 & 0
O conteúdo é combinar matrizes no espaço vetorial M2times2(R) e resolver para os escalares de tal forma que
alpha A + beta B + gamma C = E1
]

Passo 2

Vamos chamar de alpha, beta e gamma os coeficientes que queremos achar e escrever:
alpha A + beta B + gamma C = alpha 1 & 1 [3pt] 0 & -1 + beta 1 & 1 [3pt] -1 & 0 + gamma 1 & -1 [3pt] 0 & 0
Somando elemento a elemento temos
alpha A + beta B + gamma C = alpha+beta+gamma & ;alpha+beta-gamma[3pt] -beta & -alpha
]

Passo 3

Agora igualamos cada entrada dessa matriz à correspondente em E1:
alpha + beta + gamma = 3,[3pt] alpha + beta - gamma = -1,[3pt] -beta = 1,[3pt] -alpha = -2
]

Passo 4

Resolvendo o sistema:
De -beta=1 segue beta=-1.
De -alpha=-2 segue alpha=2.
Substituindo em alpha+beta+gamma=3
2 + (-1) + gamma = 3 Longrightarrow 1 + gamma =3 Longrightarrow gamma =2
Verificação rápida em alpha+beta-gamma=2-1-2=-1 confere.

Passo 5

Concluímos que
alpha=2, beta=-1, gamma=2,
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E1 = 2A ;-; B ;+; 2C

Resposta

E1 = 2A - B + 2C.

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