Seja,
e
subespaços vetoriais de
. Determine uma base e a dimensão dos subespaços
e
.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para achar base e dimensão dos subespaços de
além de
e
. O conteúdo é teoria de subespaços, solução de sistemas lineares, dimensão e soma direta.
Passo 2
Para
Da primeira equação vem . Logo
Assim
logo uma base de
é
e
.
Passo 3
Por definição
Verificamos que
são linearmente independentes (o único
tal que
é
). Logo uma base de
é
e
.
Passo 4
Para
Isso gera o sistema
Da solução obtemos .
Passo 5
Usando a fórmula
Num espaço de dimensão 3,
U+W=R^3 . Uma base pode ser obtida unindo as bases de
W e o gerador de
U :
que são três vetores linearmente independentes em
R^3 .
Resposta
U: base
(1,-1,4) ,
dim(U)=1
W: base(1,-1,2),(2,1,1) ,
dim(W)=2
Ucap W : base vazia,
dim(Ucap W)=0
U+W : base
(1,-1,2),(2,1,1),(1,-1,4) ,
dim(U+W)=3
W: base