Seja, U e W subespaços vetoriais de R^3. Determine uma base e a dimensão dos subespaços U, W, U cap W e U+W.
U=(x, y, z) in R^3 ; x+y=0 e 4 x-z=0 e W=[(1,-1,2),(2,1,1)].

Passo 1

O enunciado pede para achar base e dimensão dos subespaços de R^3
U=(x,y,z)mid x+y=0,;4x-z=0,
W=Span(1,-1,2),(2,1,1),
além de Ucap W e U+W. O conteúdo é teoria de subespaços, solução de sistemas lineares, dimensão e soma direta.

Passo 2

Para
Da primeira equação vem . Logo
Assim
logo uma base de é e .

Passo 3

Por definição
W=Spanw1,w2, w1=(1,-1,2),;w2=(2,1,1)
Verificamos que w1,w2 são linearmente independentes (o único (a,b) tal que a,w1+b,w2=0 é a=b=0). Logo uma base de W é (1,-1,2),(2,1,1) e dim(W)=2.

Passo 4

Para
Isso gera o sistema
Da solução obtemos .

Passo 5

Usando a fórmula
dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(Ucap W)=1+2-0=3
Num espaço de dimensão 3, U+W=R^3. Uma base pode ser obtida unindo as bases de W e o gerador de U:
(1,-1,2),(2,1,1),(1,-1,4),
que são três vetores linearmente independentes em R^3.

Resposta

U: base (1,-1,4), dim(U)=1
W: base (1,-1,2),(2,1,1), dim(W)=2
Ucap W: base vazia, dim(Ucap W)=0
U+W: base (1,-1,2),(2,1,1),(1,-1,4), dim(U+W)=3

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