Seja,
e
subespaços vetoriais de
. Determine uma base e a dimensão dos subespaços
e
.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base e a dimensão dos subespaços
,
,
e
no espaço
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais, bases e dimensões. Vamos precisar entender como descrições de subespaços funcionam e como encontrar bases para eles.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o subespaço
. Ele é definido por:
Isso significa que todos os vetores em
têm a primeira coordenada zero. Então, podemos escrever qualquer vetor em
como
, onde
e
são números reais quaisquer.
Passo 3
Para encontrar uma base para
, precisamos identificar vetores que gerem todos os vetores de
e que sejam linearmente independentes. Observando
, vemos que podemos escrever qualquer vetor de
como uma combinação linear de
e
:
Então, uma base para
é:
Passo 4
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como a base de
tem 2 vetores, a dimensão de
é 2.
Passo 5
Agora, vamos analisar o subespaço
:
Isso significa que
. Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais quaisquer.
Passo 6
Para encontrar uma base para
, vamos expressar
como uma combinação linear de vetores. Podemos separar as variáveis
e
:
Então, uma base para
é:
Passo 7
A dimensão de
também é o número de vetores na sua base. Como a base de
tem 2 vetores, a dimensão de
é 2.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a interseção
. Essa interseção contém todos os vetores que estão tanto em
quanto em
. Então, precisamos que
e
.
Passo 9
Assim, qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
é um número real. Podemos fatorar o
:
Então, uma base para
é:
Passo 10
A dimensão de
é o número de vetores na sua base. Como a base tem apenas 1 vetor, a dimensão de
é 1.
Passo 11
Para encontrar
, que é a soma dos subespaços
e
, usamos a fórmula da dimensão:
Substituindo os valores que encontramos:
Como estamos no espaço
, que tem dimensão 3, isso significa que
.
Passo 12
Uma base para
deve ser uma base para
. Podemos usar a base padrão: