Seja, U e W subespaços vetoriais de R^3. Determine uma base e a dimensão dos subespaços U, W, U cap W e U+W.
U=(x, y, z) in R^3 ; x=0 e W=(x, y, z) in R^3 ; y-2 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base e a dimensão dos subespaços U , W , U cap W e U + W no espaço R^3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais, bases e dimensões. Vamos precisar entender como descrições de subespaços funcionam e como encontrar bases para eles.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o subespaço U . Ele é definido por:
U = (x, y, z) in R^3 ; ; ; x=0
Isso significa que todos os vetores em U têm a primeira coordenada zero. Então, podemos escrever qualquer vetor em U como (0, y, z) , onde y e z são números reais quaisquer.

Passo 3

Para encontrar uma base para U , precisamos identificar vetores que gerem todos os vetores de U e que sejam linearmente independentes. Observando (0, y, z) , vemos que podemos escrever qualquer vetor de U como uma combinação linear de (0,1,0) e (0,0,1) :
(0, y, z) = y cdot (0,1,0) + z cdot (0,0,1)
Então, uma base para U é:
, (0,1,0),; (0,0,1) ,

Passo 4

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como a base de U tem 2 vetores, a dimensão de U é 2.

Passo 5

Agora, vamos analisar o subespaço W :
W = (x, y, z) in R^3 ; ; ; y - 2z = 0
Isso significa que y = 2z . Então, qualquer vetor em W pode ser escrito como (x, 2z, z) , onde x e z são números reais quaisquer.

Passo 6

Para encontrar uma base para W , vamos expressar (x, 2z, z) como uma combinação linear de vetores. Podemos separar as variáveis x e z :
(x, 2z, z) = x cdot (1,0,0) + z cdot (0,2,1)
Então, uma base para W é:
, (1,0,0),; (0,2,1) ,

Passo 7

A dimensão de W também é o número de vetores na sua base. Como a base de W tem 2 vetores, a dimensão de W é 2.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a interseção U cap W . Essa interseção contém todos os vetores que estão tanto em U quanto em W . Então, precisamos que x = 0 e y = 2z .

Passo 9

Assim, qualquer vetor em U cap W pode ser escrito como (0, 2z, z) , onde z é um número real. Podemos fatorar o z :
(0, 2z, z) = z cdot (0,2,1)
Então, uma base para U cap W é:
, (0,2,1) ,

Passo 10

A dimensão de U cap W é o número de vetores na sua base. Como a base tem apenas 1 vetor, a dimensão de U cap W é 1.

Passo 11

Para encontrar U + W , que é a soma dos subespaços U e W , usamos a fórmula da dimensão:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
Substituindo os valores que encontramos:
dim(U + W) = 2 + 2 - 1 = 3
Como estamos no espaço R^3, que tem dimensão 3, isso significa que U + W = R^3 .

Passo 12

Uma base para U + W deve ser uma base para R^3. Podemos usar a base padrão:
, (1,0,0),; (0,1,0),; (0,0,1) ,

Resposta

&Base de U: , (0,1,0),; (0,0,1) ,, dim(U) = 2 &Base de W: , (1,0,0),; (0,2,1) ,, dim(W) = 2 &Base de U cap W: , (0,2,1) ,, dim(U cap W) = 1 &Base de U + W: , (1,0,0),; (0,1,0),; (0,0,1) ,, dim(U + W) = 3

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