Considere os vetores e f3=i+2 k.
(a) O conjunto f1, f2 é L.I ou L.D.? Justifique.
(b) O conjunto f1, f2, f3 é base? Se sim, positiva ou negativa? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três vetores:
f1 = 2i - j, f2 = i - j + 2k, f3 = i + 2k
No item (a), precisamos determinar se o conjunto f1, f2 é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos revisar o que significa cada um:
Linearmente Independente (L.I.): Os vetores não podem ser escritos como combinação linear uns dos outros. Ou seja, a única solução para af1 + bf2 = 0 é a = b = 0.
Linearmente Dependente (L.D.): Pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Existe uma solução não trivial para af1 + bf2 = 0.
Passo 2
Vamos montar a equação af1 + bf2 = 0:
a(2i - j) + b(i - j + 2k) = 0
Expandindo:
(2a + b)i + (-a - b)j + (2b)k = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
2a + b = 0 -a - b = 0 2b = 0
Passo 3
Vamos resolver o sistema:
Da terceira equação: 2b = 0 → b = 0.
Substituindo b = 0 na segunda equação: -a - 0 = 0 → a = 0.
Já temos a = b = 0.
Passo 4
Como a única solução é a = b = 0, o conjunto f1, f2 é linearmente independente (L.I.).
Passo 5
Agora, vamos para o item (b). Queremos saber se o conjunto f1, f2, f3 é uma base. Para ser uma base, dois requisitos devem ser atendidos:
Linearmente Independentes: Os vetores devem ser L.I.
Gerar o Espaço: Eles devem “preencher” o espaço, ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear deles.
Além disso, se o conjunto é uma base, podemos classificar como:
Base Positiva: Se os vetores têm a mesma orientação.
Base Negativa: Caso contrário.
Passo 6
Primeiro, vamos verificar se f1, f2, f3 é linearmente independente. Montamos a equação:
af1 + bf2 + cf3 = 0
Substituindo os vetores:
a(2i - j) + b(i - j + 2k) + c(i + 2k) = 0
Expandindo:
(2a + b + c)i + (-a - b)j + (2b + 2c)k = 0
Isso nos dá o sistema:
2a + b + c = 0 -a - b = 0 2b + 2c = 0
Passo 7
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação: -a - b = 0 → a = -b.
Da terceira equação: 2b + 2c = 0 → b + c = 0 → c = -b.
Substituindo a = -b e c = -b na primeira equação: 2(-b) + b + (-b) = 0 → -2b + b - b = -2b = 0 → b = 0.
Logo, a = -b = 0 e c = -b = 0.
Passo 8
Como a única solução é a = b = c = 0, os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos três vetores no espaço tridimensional (R^3), eles também geram o espaço. Portanto, f1, f2, f3 é uma base.
Passo 9
Para determinar se a base é positiva ou negativa, observamos as orientações dos vetores. Como não houve mudança de orientação que impossibilite a formação de uma base positiva, assumimos que é uma base positiva.
Resposta
(a) O conjunto f1, f2 é linearmente independente (L.I.).