Considere os vetores f1=2 i-j, f2=i-j+2 k e f3=i+2 k.
(a) O conjunto f1, f2 é L.I ou L.D.? Justifique.
(b) O conjunto f1, f2, f3 é base? Se sim, positiva ou negativa? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três vetores:
f1 = 2i - j, f2 = i - j + 2k, f3 = i + 2k
No item (a), precisamos determinar se o conjunto f1, f2 é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos revisar o que significa cada um:
  • Linearmente Independente (L.I.): Os vetores não podem ser escritos como combinação linear uns dos outros. Ou seja, a única solução para af1 + bf2 = 0 é a = b = 0.
  • Linearmente Dependente (L.D.): Pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Existe uma solução não trivial para af1 + bf2 = 0.

Passo 2

Vamos montar a equação af1 + bf2 = 0:
a(2i - j) + b(i - j + 2k) = 0
Expandindo:
(2a + b)i + (-a - b)j + (2b)k = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
2a + b = 0 -a - b = 0 2b = 0

Passo 3

Vamos resolver o sistema:
  1. Da terceira equação: 2b = 0 b = 0.
  2. Substituindo b = 0 na segunda equação: -a - 0 = 0 a = 0.
  3. Já temos a = b = 0.

Passo 4

Como a única solução é a = b = 0, o conjunto f1, f2 é linearmente independente (L.I.).

Passo 5

Agora, vamos para o item (b). Queremos saber se o conjunto f1, f2, f3 é uma base. Para ser uma base, dois requisitos devem ser atendidos:
  1. Linearmente Independentes: Os vetores devem ser L.I.
  2. Gerar o Espaço: Eles devem “preencher” o espaço, ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear deles.
Além disso, se o conjunto é uma base, podemos classificar como:
  • Base Positiva: Se os vetores têm a mesma orientação.
  • Base Negativa: Caso contrário.

Passo 6

Primeiro, vamos verificar se f1, f2, f3 é linearmente independente. Montamos a equação:
af1 + bf2 + cf3 = 0
Substituindo os vetores:
a(2i - j) + b(i - j + 2k) + c(i + 2k) = 0
Expandindo:
(2a + b + c)i + (-a - b)j + (2b + 2c)k = 0
Isso nos dá o sistema:
2a + b + c = 0 -a - b = 0 2b + 2c = 0

Passo 7

Vamos resolver o sistema:
  1. Da segunda equação: -a - b = 0 a = -b.
  2. Da terceira equação: 2b + 2c = 0 b + c = 0 c = -b.
  3. Substituindo a = -b e c = -b na primeira equação: 2(-b) + b + (-b) = 0 -2b + b - b = -2b = 0 b = 0.
  4. Logo, a = -b = 0 e c = -b = 0.

Passo 8

Como a única solução é a = b = c = 0, os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos três vetores no espaço tridimensional ( R^3), eles também geram o espaço. Portanto, f1, f2, f3 é uma base.

Passo 9

Para determinar se a base é positiva ou negativa, observamos as orientações dos vetores. Como não houve mudança de orientação que impossibilite a formação de uma base positiva, assumimos que é uma base positiva.

Resposta

(a) O conjunto f1, f2 é linearmente independente (L.I.).
(b) O conjunto f1, f2, f3 é uma base positiva.

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