Questão 4 Verifique se os itens abaixo são verdadeiros ou falso. Caso verdadeiro justifique em no máximo 3 linhas. Caso falso, dê um contra-exemplo.
(a) Seja A in Mn times m invertível. Então a transposta da inversa de A é igual à inversa da transposta de A;
(b) Seja I a matriz identidade de ordem 20. Então det(-I)=-1

Passo 1

O enunciado pede para classificar dois itens como verdadeiros ou falsos, envolvendo matrizes invertíveis, transposta, inversa e determinante. Vamos usar a propriedade de transposta de produto e a fórmula de determinante de escalar vezes matriz.

Passo 2

Para (a), observe que A A^-1=I. Transpondo os dois lados,
(A A^-1)^T = I^T ;Longrightarrow; (A^-1)^T A^T = I
Isto mostra que (A^T)^-1=(A^-1)^T, confirmando o item.

Passo 3

Para (b), aplica-se det(cA)=c^ndet(A) com c=-1 e n=20:
det(-I)=(-1)^20det(I)=1neq -1
Logo o item é falso, e det(-I)=1 é o contra-exemplo.

Resposta

(a) Verdadeiro. Justificativa: use transposta de produto em A A^-1=I.
(b) Falso. Contra-exemplo: det(-I)=(-1)^20=1neq -1.

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