Questão 4 Verifique se os itens abaixo são verdadeiros ou falso. Caso verdadeiro justifique em no máximo 3 linhas. Caso falso, dê um contra-exemplo.
(a) Seja
invertível. Então a transposta da inversa de
é igual à inversa da transposta de
;
(b) Seja I a matriz identidade de ordem 20. Então
(a) Seja
(b) Seja I a matriz identidade de ordem 20. Então
Passo 1
O enunciado pede para classificar dois itens como verdadeiros ou falsos, envolvendo matrizes invertíveis, transposta, inversa e determinante. Vamos usar a propriedade de transposta de produto e a fórmula de determinante de escalar vezes matriz.
Passo 2
Para (a), observe que
. Transpondo os dois lados,
Isto mostra que
, confirmando o item.
Passo 3
Para (b), aplica-se
com
e
:
Logo o item é falso, e
é o contra-exemplo.
Resposta
(a) Verdadeiro. Justificativa: use transposta de produto em
.
(b) Falso. Contra-exemplo: .
(b) Falso. Contra-exemplo: