(a) Determine a medida em radianos do ângulo entre o vetor u= 2 i-3 k e o vetor v=i+j+k.
(b) O ângulo obtido no item anterior é maior ou menor que 90 graus? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores u=(2,0,-3) e v=(1,1,1). O conteúdo que vamos usar é o produto escalar de vetores, que relaciona o cosseno do ângulo theta entre eles pela fórmula
ucdotv = |u|,|v|cos(theta)
Em seguida, para decidir se o ângulo é maior ou menor que 90^circ, basta examinar o sinal de cos(theta).

Passo 2

Vamos calcular o produto escalar e as normas:
ucdotv = 2cdot1 + 0cdot1 + (-3)cdot1 = 2 - 3 = -1,
|u| = raiz2^2 + 0^2 + (-3)^2 = raiz4 + 9 = raiz13,
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3

Passo 3

Pela fórmula do produto escalar,
cos(theta) = ucdotv|u|,|v| = -1raiz13,raiz3 = -1raiz39
Logo,
theta = arccos!l(-1raiz39r)

Passo 4

Como cos(theta) = -1/raiz39 é negativo, concluímos que theta está entre pi/2 e pi, ou seja, o ângulo é maior que 90^circ.

Resposta

(a) theta = arccos!l(-1/raiz39r) radianos.
(b) O ângulo é maior que 90^circ, pois cos(theta)<0.

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