(a) Calcule o produto misto [u, v, w], sabendo que w é ortogonal aos vetores u e v, a base u, v, w é negativa, o ângulo entre os vetores u e v é de 30 graus, o vetor u é unitário e |w|=|v|=2.
(b) Determine o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u, v e w.

Passo 1

O enunciado pede o produto misto
l[vec u,vec v,vec wr]=vec ucdot(vec vtimesvec w)
e o volume do paralelepípedo gerado por vec u,vec v,vec w. Aqui vamos usar que
  1. vec w é ortogonal a vec u e a vec v,
  2. o ângulo entre vec u e vec v é de 30^circ,
  3. |vec u|=1, |vec v|=2, |vec w|=2,
  4. a base vec u,vec v,vec w é de orientação negativa (produto misto negativo).

Passo 2

Em vez de vec ucdot(vec vtimesvec w), é mais direto usar a forma cíclica
l[vec u,vec v,vec wr]=vec wcdot(vec utimesvec v)
Como vec w é perpendicular ao plano gerado por vec u,vec v, o vetor vec utimesvec v também é perpendicular a esse plano, ou seja, é paralelo (ou antiparalelo) a vec w. Primeiro calculemos a magnitude de vec utimesvec v:
|vec utimesvec v| =|vec u|,|vec v|sin(30^circ) =1cdot2cdottfrac12 =1

Passo 3

Agora, como vec utimesvec v e vec w são colineares e a base é de orientação negativa, têm-se
vec wcdot(vec utimesvec v) =-|vec w|;|vec utimesvec v| =-2cdot1 =-2
Portanto
[vec u,vec v,vec w]=-2

Passo 4

O volume V do paralelepípedo gerado por vec u,vec v,vec w é o valor absoluto do produto misto:
V=l|[vec u,vec v,vec w]r| =l|-2r| =2

Resposta

(a) -2
(b) 2

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