Considere os vetores de \mathbb{R}^{3}, u=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right], v=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right]. Determine \langle u+3 v, u-v\rangle,||2 u-v||, d(u, v), d(u+v, u-v) nos seguintes casos:
(a) \langle, \rangle é o produto escalar.é

Passo 1

O enunciado dá os vetores em \mathbb{R}^3
u = \begin{bmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{bmatrix},\quad v = \begin{bmatrix}3\\\ 0\\\ -3\end{bmatrix}
e pede quatro quantidades usando o produto escalar usual, norma e distância. Vamos usar as definições:
\langle x,y\rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3,
\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}, \quad d(x,y) = \|x-y\|.

Passo 2

Calcular u+3v e u-v e em seguida seu produto escalar:
u+3v = \begin{bmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{bmatrix} +3\begin{bmatrix}3\\\ 0\\\ -3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}11\\\ -1\\\ -6\end{bmatrix}, \quad u-v = \begin{bmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}3\\\ 0\\\ -3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\\ -1\\\ 6\end{bmatrix}.
Logo,
\langle u+3v,\,u-v\rangle = 11\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)+(-6)\cdot 6 = -11+1-36 = -46.

Passo 3

Calcular 2u-v e a norma:
2u-v = 2\begin{bmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}3\\\ 0\\\ -3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\\ -2\\\ 6\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}3\\\ 0\\\ -3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\\ -2\\\ 9\end{bmatrix}.
Então
\|2u-v\| = \sqrt{1^2+(-2)^2+9^2} = \sqrt{1+4+81} = \sqrt{86}.

Passo 4

Calcular a distância d(u,v)=\|u-v\|. Já temos
\,u-v=\begin{bmatrix}-1\\\ -1\\\ 6\end{bmatrix},
então
d(u,v) = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+6^2} = \sqrt{1+1+36} = \sqrt{38}.

Passo 5

Calcular d(u+v,\,u-v)=\|(u+v)-(u-v)\|=\|2v\|. Como
v = \begin{bmatrix}3\\\ 0\\\ -3\end{bmatrix}, \quad 2v = \begin{bmatrix}6\\\ 0\\\ -6\end{bmatrix},
temos
\|2v\| = 2\|v\| = 2\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}.

Resposta

\langle u+3v,\,u-v\rangle = -46
\|2u-v\| = \sqrt{86}
d(u,v) = \sqrt{38}
d(u+v,u-v) = 6\sqrt{2}

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