Calcule as integrais usando uma substituição apropriada.
\int \frac{d x}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{e^{x}}
usando uma substituição adequada. Isso envolve integrar uma função do tipo e^{-x}, que é um caso clássico de substituição em integrais de exponencial.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{x}.
Então
du = e^{x}\,dx
e, portanto,
dx = \frac{du}{u}.
Como e^{x}=u, observamos que
\frac{1}{e^{x}}\,dx = \frac{1}{u}\,\frac{du}{u} = u^{-2}\,du.
Assim, a integral original vira
\int u^{-2}\,du.

Passo 3

Integrando em u, temos
\int u^{-2}\,du = \int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C.
Voltando à variável x, como u=e^{x}, obtemos
-u^{-1} + C = -\frac{1}{e^{x}} + C = -e^{-x} + C.

Resposta

-e^{-x} + C

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