Considere que os vetores obedecem às propriedades algébricas básicas. Resolva a equação
, isolando o vetor incógnita
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para isolar o vetor incógnita
. Informações úteis que temos:
-
é o vetor incógnita que queremos encontrar; -
e são vetores dados (conhecidos); -
e são escalares (números) que multiplicam vetores; - A operação de soma e multiplicação por escalar seguem as propriedades usuais da álgebra vetorial.
O objetivo é manipular essa igualdade usando propriedades algébricas de vetores até obter
isolado.
Passo 2
Antes de mexer com a equação, vamos rever as propriedades que vamos usar (cada fórmula é válida para quaisquer vetores
e escalares
):
- Comutatividade da soma:
. - Associatividade da soma:
. - Distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
. - Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
. - Existência do inverso aditivo: para todo
existe tal que . - Multiplicação por inverso escalar (quando o escalar é não nulo): se
existe tal que .
Vou usar essas regras exatamente como se fossem equações numéricas: podemos somar/subtrair o mesmo vetor em ambos os lados e multiplicar por escalares não nulos em ambos os lados.
Passo 3
Primeira manipulação: reunir todos os termos que contêm
no mesmo lado. Para isso, somo
nos dois lados da igualdade (somar o mesmo vetor nos dois lados preserva a igualdade):
No lado direito
. Então a equação fica
Passo 4
Agora somamos os termos que são “semelhantes” (os que têm o mesmo vetor incógnita). Assim:
Portanto a equação simplifica para
Passo 5
Queremos deixar só
do lado esquerdo, então subtraímos
dos dois lados (subtrair é adicionar o inverso aditivo):
Aqui usei a propriedade de que
.
Passo 6
Para isolar
dividimos ambos os lados pelo escalar
. Em álgebra vetorial isso equivale a multiplicar por
(que é o inverso multiplicativo de
):
Usando a distributividade escalar sobre a soma, podemos simplificar
.
Passo 7
Verificação (sempre bom checar): substituir
na equação original.
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado direito:
Os dois lados coincidem, logo a solução está correta.