Considere que os vetores obedecem às propriedades algébricas básicas. Resolva a equação 2 \vec{x}+3 \vec{u}=\vec{v}-\vec{x}, isolando o vetor incógnita \vec{x}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
2\vec{x}+3\vec{u}=\vec{v}-\vec{x}
e pede para isolar o vetor incógnita \vec{x}. Informações úteis que temos:
  • \vec{x} é o vetor incógnita que queremos encontrar;
  • \vec{u} e \vec{v} são vetores dados (conhecidos);
  • 2 e 3 são escalares (números) que multiplicam vetores;
  • A operação de soma e multiplicação por escalar seguem as propriedades usuais da álgebra vetorial.
O objetivo é manipular essa igualdade usando propriedades algébricas de vetores até obter \vec{x} isolado.

Passo 2

Antes de mexer com a equação, vamos rever as propriedades que vamos usar (cada fórmula é válida para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b} e escalares c,d):
  • Comutatividade da soma: \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}.
  • Associatividade da soma: (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}).
  • Distributividade do escalar sobre a soma de vetores: c(\vec{a}+\vec{b})=c\vec{a}+c\vec{b}.
  • Distributividade da soma de escalares sobre vetor: (c+d)\vec{a}=c\vec{a}+d\vec{a}.
  • Existência do inverso aditivo: para todo \vec{a} existe -\vec{a} tal que \vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}.
  • Multiplicação por inverso escalar (quando o escalar é não nulo): se c\neq0 existe c^{-1} tal que c^{-1}(c\vec{a})=\vec{a}.
Vou usar essas regras exatamente como se fossem equações numéricas: podemos somar/subtrair o mesmo vetor em ambos os lados e multiplicar por escalares não nulos em ambos os lados.

Passo 3

Primeira manipulação: reunir todos os termos que contêm \vec{x} no mesmo lado. Para isso, somo \vec{x} nos dois lados da igualdade (somar o mesmo vetor nos dois lados preserva a igualdade):
2\vec{x}+3\vec{u}+\vec{x}=\vec{v}-\vec{x}+\vec{x}.
No lado direito \vec{v}-\vec{x}+\vec{x}=\vec{v}+(-\vec{x})+\vec{x}=\vec{v}+(\,-\vec{x}+\vec{x})=\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}. Então a equação fica
2\vec{x}+\vec{x}+3\vec{u}=\vec{v}.

Passo 4

Agora somamos os termos que são “semelhantes” (os que têm o mesmo vetor incógnita). Assim:
2\vec{x}+\vec{x}=(2+1)\vec{x}=3\vec{x}.
Portanto a equação simplifica para
3\vec{x}+3\vec{u}=\vec{v}.

Passo 5

Queremos deixar só \vec{x} do lado esquerdo, então subtraímos 3\vec{u} dos dois lados (subtrair é adicionar o inverso aditivo):
3\vec{x}= \vec{v}-3\vec{u}.
Aqui usei a propriedade de que \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}).

Passo 6

Para isolar \vec{x} dividimos ambos os lados pelo escalar 3. Em álgebra vetorial isso equivale a multiplicar por 1/3 (que é o inverso multiplicativo de 3):
\vec{x}=\tfrac{1}{3}\bigl(\vec{v}-3\vec{u}\bigr).
Usando a distributividade escalar sobre a soma, podemos simplificar \tfrac{1}{3}\bigl(\vec{v}-3\vec{u}\bigr)=\tfrac{1}{3}\vec{v}-\tfrac{1}{3}\cdot 3\vec{u}=\tfrac{1}{3}\vec{v}-\vec{u}.

Passo 7

Verificação (sempre bom checar): substituir \vec{x}=\tfrac{1}{3}\vec{v}-\vec{u} na equação original.
Calcule o lado esquerdo:
2\vec{x}+3\vec{u}=2\bigl(\tfrac{1}{3}\vec{v}-\vec{u}\bigr)+3\vec{u}=\tfrac{2}{3}\vec{v}-2\vec{u}+3\vec{u}=\tfrac{2}{3}\vec{v}+\vec{u}.
Calcule o lado direito:
\vec{v}-\vec{x}=\vec{v}-\bigl(\tfrac{1}{3}\vec{v}-\vec{u}\bigr)=\vec{v}-\tfrac{1}{3}\vec{v}+\vec{u}=\tfrac{2}{3}\vec{v}+\vec{u}.
Os dois lados coincidem, logo a solução está correta.

Resposta

\vec{x}=\dfrac{1}{3}\vec{v}-\vec{u}

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