Em um triângulo
, os vetores
e
representam as três medianas, orientadas dos vértices para os respectivos pontos médios dos lados opostos. Determine o resultado exato da soma vetorial
.
Passo 1
O enunciado nos dá um triângulo
e os vetores
que são as medianas, cada uma orientada do vértice correspondente para o ponto médio do lado oposto. O que nos pedem é calcular a soma vetorial
Informações relevantes dadas:
-
é a mediana que parte de e vai ao ponto médio de . -
parte de e vai ao ponto médio de . -
parte de e vai ao ponto médio de .
A tarefa é encontrar exatamente o valor dessa soma vetorial.
Passo 2
Vamos representar os vértices por vetores posição em relação a uma origem arbitrária
. Defina:
Aqui cada símbolo
é o vetor posição do ponto correspondente. Isso é só uma convenção muito comum que facilita cálculos vetoriais: ao trabalhar com medianas, é prático usar as coordenadas (ou vetores posição) dos vértices.
Passo 3
Lembrete importante (fórmula do ponto médio em vetores): o vetor posição do ponto médio de um segmento cujas extremidades têm vetores posição
e
é
Aplicando ao nosso triângulo:
- O ponto médio de
tem vetor posição . - O ponto médio de
tem vetor posição . - O ponto médio de
tem vetor posição .
Expliquei isso porque a mediana é o vetor que vai do vértice até esse ponto médio, então agora podemos escrever cada mediana em termos de
.
Passo 4
Expressar cada mediana como diferença entre o vetor posição do ponto médio e o vetor posição do vértice de onde parte:
Aqui usei a ideia básica de vetor deslocamento: o vetor que vai de
a
(médio de
) é
.
Passo 5
Agora vamos somar as três expressões passo a passo. Somando as três igualdades:
Agrupando termos de forma organizada, some primeiro as frações:
Agora some os termos negativos
. Assim
Portanto ocorre a cancelamento completo:
Passo 6
Interpretação geométrica e reforço didático: a soma nula significa que, se escolhesse uma origem qualquer, os três vetores medianas (orientados dos vértices para os pontos médios) se equilibram — o resultado é o vetor nulo. Outra maneira de ver isso é lembrar que o centróide
do triângulo tem vetor posição
e os vetores
somam zero (porque
); como cada mediana é
do vetor
invertido em direção (ou seja, está relacionado linearmente com
), chega-se ao mesmo cancelamento. Mas a dedução algébrica que fiz nos passos anteriores é simples e suficiente para prova em prova.