Em um triângulo A B C, os vetores \vec{m}_{a}, \vec{m}_{b} e \vec{m}_{c} representam as três medianas, orientadas dos vértices para os respectivos pontos médios dos lados opostos. Determine o resultado exato da soma vetorial \vec{m}_{a}+\vec{m}_{b}+\vec{m}_{c}.

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo A B C e os vetores \vec{m}_{a},\vec{m}_{b},\vec{m}_{c} que são as medianas, cada uma orientada do vértice correspondente para o ponto médio do lado oposto. O que nos pedem é calcular a soma vetorial
\vec{m}_{a}+\vec{m}_{b}+\vec{m}_{c}.
Informações relevantes dadas:
  • \vec{m}_{a} é a mediana que parte de A e vai ao ponto médio de BC.
  • \vec{m}_{b} parte de B e vai ao ponto médio de CA.
  • \vec{m}_{c} parte de C e vai ao ponto médio de AB.
    A tarefa é encontrar exatamente o valor dessa soma vetorial.

Passo 2

Vamos representar os vértices por vetores posição em relação a uma origem arbitrária O. Defina:
\vec{OA}=\vec{a},\qquad \vec{OB}=\vec{b},\qquad \vec{OC}=\vec{c}.
Aqui cada símbolo \vec{a},\vec{b},\vec{c} é o vetor posição do ponto correspondente. Isso é só uma convenção muito comum que facilita cálculos vetoriais: ao trabalhar com medianas, é prático usar as coordenadas (ou vetores posição) dos vértices.

Passo 3

Lembrete importante (fórmula do ponto médio em vetores): o vetor posição do ponto médio de um segmento cujas extremidades têm vetores posição \vec{u} e \vec{v} é
\frac{\vec{u}+\vec{v}}{2}.
Aplicando ao nosso triângulo:
  • O ponto médio de BC tem vetor posição \dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}.
  • O ponto médio de CA tem vetor posição \dfrac{\vec{c}+\vec{a}}{2}.
  • O ponto médio de AB tem vetor posição \dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}.
Expliquei isso porque a mediana é o vetor que vai do vértice até esse ponto médio, então agora podemos escrever cada mediana em termos de \vec{a},\vec{b},\vec{c}.

Passo 4

Expressar cada mediana como diferença entre o vetor posição do ponto médio e o vetor posição do vértice de onde parte:
\vec{m}_{a}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\vec{a},
\vec{m}_{b}=\frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}-\vec{b},
\vec{m}_{c}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}-\vec{c}.
Aqui usei a ideia básica de vetor deslocamento: o vetor que vai de A a M (médio de BC) é \vec{OM}-\vec{OA}.

Passo 5

Agora vamos somar as três expressões passo a passo. Somando as três igualdades:
\vec{m}_{a}+\vec{m}_{b}+\vec{m}_{c} = \left(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\vec{a}\right) + \left(\frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}-\vec{b}\right) + \left(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}-\vec{c}\right).
Agrupando termos de forma organizada, some primeiro as frações:
\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}+\frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}+\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} = \frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})+(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})}{2} = \frac{2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})}{2} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}.
Agora some os termos negativos -\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}. Assim
\vec{m}_{a}+\vec{m}_{b}+\vec{m}_{c} = \bigl(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\bigr)-\bigl(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\bigr).
Portanto ocorre a cancelamento completo:
\vec{m}_{a}+\vec{m}_{b}+\vec{m}_{c}=\vec{0}.

Passo 6

Interpretação geométrica e reforço didático: a soma nula significa que, se escolhesse uma origem qualquer, os três vetores medianas (orientados dos vértices para os pontos médios) se equilibram — o resultado é o vetor nulo. Outra maneira de ver isso é lembrar que o centróide G do triângulo tem vetor posição
\vec{OG}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3},
e os vetores \vec{GA},\vec{GB},\vec{GC} somam zero (porque \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=3\vec{OG}-3\vec{OG}=\vec{0}); como cada mediana é \tfrac{2}{3} do vetor \vec{AG} invertido em direção (ou seja, está relacionado linearmente com \vec{GA},\vec{GB},\vec{GC}), chega-se ao mesmo cancelamento. Mas a dedução algébrica que fiz nos passos anteriores é simples e suficiente para prova em prova.

Resposta

\vec{0}

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