Um ponto P pertence ao segmento A B e o divide em uma razão tal que o vetor \overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{P B}. Dado um ponto de origem genérico O, expresse o vetor \overrightarrow{O P} em função de \overrightarrow{O A} e \overrightarrow{O B}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos):
  • Um ponto P pertence ao segmento AB.
  • O ponto P divide o segmento AB de modo que \overrightarrow{AP}=2\,\overrightarrow{PB}.
  • Há um ponto de origem genérico O (ou seja, os vetores de posição serão contados a partir de O).
    O que é pedido:
  • Expressar \overrightarrow{OP} em função de \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}.

Passo 2

Vamos introduzir notação simples para facilitar as contas. Defino:
\vec{a}=\overrightarrow{OA},\qquad \vec{b}=\overrightarrow{OB},\qquad \vec{p}=\overrightarrow{OP}.
Isto significa que qualquer vetor entre dois desses pontos pode ser escrito subtraindo os vetores de posição. Em particular:
\overrightarrow{AP}=\vec{p}-\vec{a}, \qquad \overrightarrow{PB}=\vec{b}-\vec{p}.
Estas fórmulas vêm da regra básica dos vetores: para pontos X,Y temos \overrightarrow{XY}=\overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX}.

Passo 3

Usamos a relação dada pelo enunciado \overrightarrow{AP}=2\,\overrightarrow{PB}. Substituindo as expressões do passo anterior:
\vec{p}-\vec{a}=2(\vec{b}-\vec{p}).
Agora resolvemos essa equação vetorial para \vec{p}. Primeiro expandimos o lado direito:
\vec{p}-\vec{a}=2\vec{b}-2\vec{p}.
Colocamos todos os termos com \vec{p} no mesmo lado:
\vec{p}+2\vec{p}=2\vec{b}+\vec{a}.
Então
3\vec{p}= \vec{a}+2\vec{b}.

Passo 4

Isolando \vec{p} obtemos
\vec{p}=\frac{1}{3}\,\vec{a}+\frac{2}{3}\,\vec{b}.
Voltando à notação original dos vetores de posição, isto é:
\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\,\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\,\overrightarrow{OB}.
Comentário didático rápido: essa expressão mostra que \overrightarrow{OP} é uma combinação convexa de \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB} com pesos 1/3 e 2/3. É o mesmo que dizer que P divide AB na razão 2:1 (do lado de A para B), então P está a 2/3 do caminho de A até B medido a partir de A, o que se reflete no peso maior sobre \overrightarrow{OB}.

Resposta

\overrightarrow{OP}=\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}\,\overrightarrow{OB}

Exercícios relacionados