Considere os vetores do plano vec{a}=(3,-1), vec{b}=(-2,4) e vec{c}=(1,2). Calcule:
f) 2 \vec{a}-\vec{b}

Passo 1

O enunciado dá os vetores do plano e pede para calcular uma combinação linear específica. Informações fornecidas:
  • \vec{a} = (3,-1).
  • \vec{b} = (-2,4).
  • A expressão a calcular é 2\vec{a}-\vec{b}.

Passo 2

Entendendo multiplicação por escalar (passo-a-passo didático):
  • Se um vetor é \vec{v}=(v_1,v_2) e k é um número real (escalar), então a multiplicação por escalar é feita componente a componente.
  • Isso significa que
k\vec{v}=(k v_1,\; k v_2).
Explicação simples: multiplica-se cada coordenada do vetor pelo número k. É só repetir a multiplicação duas vezes, uma para cada componente.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso para calcular 2\vec{a}:
2\vec{a}=2(3,-1).
Multiplica-se cada componente por 2:
2\vec{a}=(2\cdot 3,\; 2\cdot (-1)).
Calculando os produtos:
2\vec{a}=(6,\; -2).

Passo 4

Entendendo subtração de vetores (passo-a-passo didático):
  • Se \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2), então
\vec{u}-\vec{v}=(u_1-v_1,\; u_2-v_2).
  • Alternativamente, \vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-1)\vec{v}; ou seja, subtrair é somar o oposto. Mas, na prática, subtrai-se componente a componente.

Passo 5

Agora subtrai-se \vec{b} de 2\vec{a}. Usando os resultados anteriores:
2\vec{a}-\vec{b}=(6,-2)-(-2,4).
Subtraindo componente a componente:
2\vec{a}-\vec{b}=(6-(-2),\; -2-4).
Calculando cada diferença:
6-(-2)=6+2=8,\qquad -2-4=-6.
Portanto o vetor resultante (obtido pelos cálculos acima) é (8,-6).

Resposta

(8,-6)

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