Considere os vetores do plano vec{a}=(3,-1), vec{b}=(-2,4) e vec{c}=(1,2). Calcule:
c) 2 \vec{b}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores do plano:
\vec{a}=(3,-1), \vec{b}=(-2,4) e \vec{c}=(1,2).
A parte (c) pede para calcular \;2\vec{b}.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa multiplicar um vetor por um escalar. Se \vec{v}=(v_1,v_2) e k é um número real (escalar), então a multiplicação definida componente a componente é
k\vec{v}=(k v_1,\; k v_2).
Aqui v_1 e v_2 são as componentes do vetor \vec{v} (a componente horizontal e a vertical, respectivamente) e k multiplica cada componente. Intuitivamente, isso alonga ou comprime o vetor em relação à origem: se k>1 o vetor fica maior, se 0<k<1 fica menor, se k<0 além de mudar o tamanho também inverte a direção.

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso caso, com k=2 e \vec{b}=(-2,4), temos
2\vec{b}=2(-2,4)=(2\cdot(-2),\;2\cdot 4).

Passo 4

Agora calculamos as multiplicações das componentes:
2\cdot(-2)=-4,\qquad 2\cdot 4=8.
Portanto
2\vec{b}=(-4,8).

Passo 5

Uma checagem rápida por interpretação geométrica: o comprimento de \vec{b} é \sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}. Multiplicar por 2 deve dobrar o comprimento, dando 4\sqrt{5}. O vetor (-4,8) tem módulo \sqrt{(-4)^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}, confirmação de que o cálculo está consistente.

Resposta

2\vec{b}=(-4,8)

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