Considere os vetores u=(a, 3) e v=(-1, b). Encontre os valores de a e b para que os vetores u e v sejam perpendiculares se |u|=5.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(a,3) e v=(-1,b) e pede que eles sejam perpendiculares (ou seja, ucdotv=0) e que |u|=5. Para resolver, vamos usar a definição de produto escalar e a fórmula do comprimento (norma) de um vetor.

Passo 2

Perpendicularidade implica
ucdotv=acdot(-1)+3cdot b=0
Logo,
-a+3b=0 Longrightarrow a=3b

Passo 3

A condição |u|=5
|u|^2 = a^2 + 3^2 = 5^2
a^2 + 9 = 25 Longrightarrow a^2 = 16 Longrightarrow a = pm 4

Passo 4

Substituindo a=3b em cada caso:
  • Se a=4, então 3b=4 e b=tfrac43.
  • Se a=-4, então 3b=-4 e b=-tfrac43.

Resposta

Os pares (a,b) que satisfazem as condições são
(a,b) = l(4,tfrac43r) ou (a,b) = l(-4,-tfrac43r)

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