Verificar em cada um dos casos se o subconjunto B do espaço vetorial V é uma base de V.
* B=(ll1 & 1 0 & 0),(ll2 & 1 0 & 0),(ll0 & 1 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 2), V=M2(R).

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=M2(R), que tem dimensão 4, e o subconjunto
B=lA1,A2,A3,A4r
onde
A1=1 & 1 0 & 0,; A2=2 & 1 0 & 0,; A3=0 & 1 1 & 0,; A4=0 & 0 0 & 2
Para mostrar que B é base de V, basta provar que os quatro vetores são linearmente independentes (já que são quatro vetores num espaço de dimensão 4, independência implica que geram V).

Passo 2

Traduzimos cada matriz Ai num vetor de R^4 pela regra
a & b c & dlongmapsto (a,b,c,d)
Assim
A1mapsto(1,1,0,0),; A2mapsto(2,1,0,0),; A3mapsto(0,1,1,0),; A4mapsto(0,0,0,2)

Passo 3

Considere a combinação linear nula
alpha,A1+beta,A2+gamma,A3+de<a,A4 =0&00&0
Em coordenadas isso vira o sistema em alpha,beta,gamma,de<a:
alpha+2beta+0gamma+0de<a=0, alpha+beta+gamma+0de<a=0, 0alpha+0beta+gamma+0de<a=0, 0alpha+0beta+0gamma+2de<a=0

Passo 4

Das duas últimas equações tiramos diretamente
gamma=0, 2de<a=0;Longrightarrow;de<a=0
Substituindo gamma=0 nas duas primeiras,
alpha+2beta=0, alpha+beta=0
Da segunda vem alpha=-beta; colocando na primeira obtemos -beta+2beta=beta=0, logo beta=0 e daí alpha=0. Assim a única solução é alpha=beta=gamma=de<a=0.

Passo 5

Como a única combinação linear que dá a matriz zero é a trivial, B é linearmente independente. Tendo 4 vetores num espaço de dimensão 4, concluímos que eles formam uma base de M2(R).

Resposta

O conjunto B é base de V=M2(R).

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