Justifique todas as suas afirmações.
As coordenadas dos vetores e dos pontos que aparecem nos exercícios a seguir são suas coordenadas com relação a um sistema de coordenadas ortonormal positivo.
Encontre equações vetorial, paramétricas e geral do plano pi que
contém os pontos A=(1,2,3) e B=(1,3,2) e é paralelo ao vetor v=(1,0,2).

Passo 1

O enunciado pede as equações do plano pi que passa pelos pontos A=(1,2,3) e B=(1,3,2) e é paralelo ao vetor vec v=(1,0,2). O conteúdo que vamos usar é que um plano fica determinado por um ponto e dois vetores diretores não colineares. A partir daí obtém-se a forma vetorial, as equações paramétricas e, com o vetor normal (produto vetorial), a forma geral.

Passo 2

Vamos obter dois vetores diretores do plano:
,AB = B - A = (1,3,2) - (1,2,3) = (0,1,-1)
e o vetor dado vec v=(1,0,2). Esses vetores são não colineares (não são múltiplos um do outro), logo servem como diretores do plano.

Passo 3

A forma vetorial do plano é
vec r = O A + s,AB + t,vec v,
onde O A=(1,2,3).
Em coordenadas isso dá
(x,y,z) = (1,2,3) + s,(0,1,-1) + t,(1,0,2)
As equações paramétricas são
x = 1 + t, y = 2 + s, z = 3 - s + 2t

Passo 4

Para achar a forma geral precisamos do vetor normal vec n, dado pelo produto vetorial
vec n = AB times vec v = (0,1,-1)times(1,0,2)
Calculando coordenada a coordenada,
nx = 1cdot2 - (-1)cdot0 = 2, ny = (-1)cdot1 - 0cdot2 = -1, nz = 0cdot0 - 1cdot1 = -1
Logo vec n=(2,-1,-1).

Passo 5

A equação geral do plano usando o ponto A=(1,2,3) e a normal vec n=(2,-1,-1) é
2,(x-1)-1,(y-2)-1,(z-3)=0
Expandindo,
2x - y - z +(-2+2+3)=0 Longrightarrow 2x - y - z +3 = 0

Resposta

Forma vetorial:
vec r = (1,2,3) + s,(0,1,-1) + t,(1,0,2)
Forma paramétrica:
x = 1 + t, y = 2 + s, z = 3 - s + 2t
Forma geral:
2x - y - z + 3 = 0

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