Considere os vetores u=(1,2,5), v=(2,-3,5) e w=(4,2,-3) em \Re^{3} e \langle\cdot, \cdot\rangle o produto interno usual em \Re^{3}. Calcule:
\langle u, w\rangle

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores em \Re^{3}:
u=(1,2,5),\qquad v=(2,-3,5),\qquad w=(4,2,-3),
e diz que \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual em \Re^{3}. A pergunta específica é: calcular \langle u,w\rangle.

Passo 2

Recordando a definição do produto interno usual (produto escalar) em \Re^{3}: se
a=(a_{1},a_{2},a_{3})\quad\text{e}\quad b=(b_{1},b_{2},b_{3}),
então
\langle a,b\rangle = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
Aqui cada a_{i} e b_{i} é a i-ésima componente dos vetores; o procedimento é multiplicar componentes correspondentes e somar os resultados.

Passo 3

Identifico as componentes dos vetores dados (peguei os números do enunciado):
u_{1}=1,\quad u_{2}=2,\quad u_{3}=5,
w_{1}=4,\quad w_{2}=2,\quad w_{3}=-3.

Passo 4

Calculo os produtos das componentes correspondentes:
u_{1}w_{1}=1\cdot 4=4,
u_{2}w_{2}=2\cdot 2=4,
u_{3}w_{3}=5\cdot(-3)=-15.

Passo 5

Somando esses produtos para obter o produto interno:
\langle u,w\rangle = 4 + 4 + (-15).
Primeiro 4+4=8, depois 8-15=-7. Portanto o produto interno vale -7.

Resposta

-7

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