Considere os vetores u=(1,2,5), v=(2,-3,5) e w=(4,2,-3) em \Re^{3} e \langle\cdot, \cdot\rangle o produto interno usual em \Re^{3}. Calcule:
\langle u, v+w\rangle

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,2,5), v=(2,-3,5) e w=(4,2,-3) em \Re^{3} e pede para calcular
\langle u, v+w\rangle.
Informações relevantes: os componentes de u, v e w estão explicitados; o produto interno é o produto interno usual em \Re^{3}. A missão é encontrar o valor numérico de \langle u, v+w\rangle.

Passo 2

Lembrete/definição útil (aquela aula rapidinha): para vetores x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3) em \Re^3, o produto interno usual é
\langle x,y\rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3.
Propriedade importante (distributividade/linearidade) que vamos usar:
\langle u, v+w\rangle = \langle u,v\rangle + \langle u,w\rangle.
Essa propriedade diz que basta somar os produtos internos com cada parcela; faz a conta ficar mais limpinha.

Passo 3

Primeiro calculemos v+w somando componente a componente (pegando os valores de v e w dados no enunciado):
v+w = (\,2+4,\; -3+2,\; 5+(-3)\,) = (6,\,-1,\,2).

Passo 4

Agora aplicamos a definição do produto interno entre u=(1,2,5) e v+w=(6,-1,2). Usando \langle x,y\rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3, temos
\langle u, v+w\rangle = 1\cdot 6 + 2\cdot(-1) + 5\cdot 2.
Calcule cada termo:
1\cdot 6 = 6,\qquad 2\cdot(-1) = -2,\qquad 5\cdot 2 = 10.

Passo 5

Somando os resultados parciais:
6 + (-2) + 10 = 6 - 2 + 10 = 14.
Como checagem alternativa (opcional): podia calcular \langle u,v\rangle = 1\cdot 2 + 2\cdot(-3) + 5\cdot 5 = 2 -6 +25 =21 e \langle u,w\rangle = 1\cdot 4 + 2\cdot 2 + 5\cdot(-3) = 4 +4 -15 = -7, e então \langle u,v\rangle+\langle u,w\rangle = 21 + (-7) = 14, confirmando o mesmo resultado.

Resposta

14

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