Considere os vetores u=(1,2,5), v=(2,-3,5) e w=(4,2,-3) em \Re^{3} e \langle\cdot, \cdot\rangle o produto interno usual em \Re^{3}. Calcule:
\langle 2 u, v+w\rangle

Passo 1

O enunciado pede para calcular \langle 2u, v+w\rangle. Os dados fornecidos são:
  • u=(1,2,5),
  • v=(2,-3,5),
  • w=(4,2,-3),
    e \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual em \Re^{3}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição e propriedades que vamos usar (explico com calma para você conseguir aplicar na prova).
  • Definição do produto interno (produto escalar) em \Re^{3}: para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
\langle a,b\rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Isto significa: multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados.
  • Propriedades úteis (fáceis de usar na hora):
    1. Linearidade em cada argumento (no caso real é bilinear): para escalar \alpha e vetores a,b,c,
    \langle \alpha a, b\rangle = \alpha \langle a,b\rangle, \qquad \langle a, b+c\rangle = \langle a,b\rangle + \langle a,c\rangle.
    1. Simetria: \langle a,b\rangle = \langle b,a\rangle.
Usando essas propriedades conseguimos simplificar:
\langle 2u, v+w\rangle = 2\langle u, v+w\rangle = 2\big(\langle u,v\rangle + \langle u,w\rangle\big).
Essa expressão é o que vou calcular passo a passo.

Passo 3

Calcular \langle u,v\rangle pelo método componente a componente.
  • Multiplicações das componentes:
    • 1\cdot 2 = 2,
    • 2\cdot(-3) = -6,
    • 5\cdot 5 = 25.
  • Soma:
\langle u,v\rangle = 2 + (-6) + 25 = 2 - 6 + 25 = 21.

Passo 4

Calcular \langle u,w\rangle componente a componente.
  • Multiplicações das componentes:
    • 1\cdot 4 = 4,
    • 2\cdot 2 = 4,
    • 5\cdot(-3) = -15.
  • Soma:
\langle u,w\rangle = 4 + 4 + (-15) = 8 - 15 = -7.

Passo 5

Somar os dois resultados e multiplicar por 2 conforme a fórmula da linearidade:
\langle u,v\rangle + \langle u,w\rangle = 21 + (-7) = 14,
logo
\langle 2u, v+w\rangle = 2 \cdot 14 = 28.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, só para ficar seguro): primeiro calcular v+w e 2u e depois o produto.
  • v+w = (2+4,\; -3+2,\; 5+(-3)) = (6,-1,2).
  • 2u = 2\cdot(1,2,5) = (2,4,10).
Produto:
\langle 2u, v+w\rangle = 2\cdot 6 + 4\cdot(-1) + 10\cdot 2 = 12 -4 +20 = 28.
Confere com o cálculo anterior.

Resposta

28

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