Considere os vetores
e
em
e
o produto interno usual em
. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. Os dados fornecidos são:
-
, -
, -
,
eé o produto interno usual em .
Passo 2
Vamos lembrar a definição e propriedades que vamos usar (explico com calma para você conseguir aplicar na prova).
- Definição do produto interno (produto escalar) em
: para e ,
Isto significa: multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados.
- Propriedades úteis (fáceis de usar na hora):
- Linearidade em cada argumento (no caso real é bilinear): para escalar
e vetores ,
- Simetria:
.
- Linearidade em cada argumento (no caso real é bilinear): para escalar
Usando essas propriedades conseguimos simplificar:
Essa expressão é o que vou calcular passo a passo.
Passo 3
Calcular
pelo método componente a componente.
-
Multiplicações das componentes:
-
, -
, -
.
-
-
Soma:
Passo 4
Calcular
componente a componente.
-
Multiplicações das componentes:
-
, -
, -
.
-
-
Soma:
Passo 5
Somar os dois resultados e multiplicar por
conforme a fórmula da linearidade:
logo
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, só para ficar seguro): primeiro calcular
e
e depois o produto.
-
. -
.
Produto:
Confere com o cálculo anterior.