Considere os vetores:
u=(3,7,0) ; w=(-2,6,-12) ; v=(1,-3,6)
Os vetores (u, v) são LD ou LI? Formam base? Explique.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^3:
vec u = (3,7,0), vec v = (1,-3,6)
Queremos saber se vec u,vec v é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI) e se esses vetores formam uma base de R^3. Para isso usaremos o teste de combinação linear trivial e a definição de base em espaço vetorial.

Passo 2

Escrevemos a condição de dependência linear: existem escalares c1,c2, não ambos nulos, tais que
c1,vec u + c2,vec v = vec 0
Em coordenadas isso dá o sistema
3,c1 + 1,c2 = 0, 7,c1 - 3,c2 = 0, 0,c1 + 6,c2 = 0

Passo 3

Da terceira equação temos
6,c2=0Longrightarrow c2=0
Substituindo em 3,c1+c2=0 vem
3,c1=0Longrightarrow c1=0
Como a única solução é c1=c2=0, concluímos que vec u e vec v são linearmente independentes.

Passo 4

Uma base de R^3 precisa de exatamente 3 vetores LI. Aqui temos apenas 2 vetores LI, então eles não geram todo R^3, mas sim um plano (subespaço de dimensão 2). Logo, vec u,vec v não forma uma base de R^3, embora seja base do subespaço spanvec u,vec v.

Resposta

vec u e vec v são linearmente independentes, porém não formam base de R^3 (formam base apenas do plano que geram).

Exercícios relacionados