Determine a equação geral do plano nos seguintes casos:
O plano contém a reta r:lx=2 y-3 z=-y+1 e o ponto A(1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém a reta
r: x=2y-3, z=-y+1
e o ponto A(1,2,3).
Conteúdo: geometria analítica de planos em R^3.
Para resolver, vamos
  1. achar um ponto P0 e um vetor diretor v da reta r,
  2. usar o vetor P0A junto com v para obter o vetor normal n ao plano,
  3. escrever a equação ncdot( r- A)=0.

Passo 2

Parametrizamos r tomando y=t. Assim
x=2t-3, y=t, z=-t+1
logo um ponto em r é
P0=(-3,0,1)
(obtido para t=0), e um vetor diretor é
v=(2,,1,,-1)

Passo 3

Construímos o vetor de P0 até A:
P0A=A-P0 =(1-(-3),,2-0,,3-1) =(4,,2,,2)

Passo 4

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n = vtimesP0A = i& j& k 2&1&-1 4&2&2 =(4,-8,0)
Podemos simplificar dividindo por 4, ficando
n=(1,,-2,,0)

Passo 5

A equação vetorial do plano pode ser escrita como
ncdotl((x,y,z)-(1,2,3)r)=0
Fazendo o produto escalar:
1,(x-1)-2,(y-2)+0,(z-3)=0
implies x-1-2y+4=0
implies x-2y+3=0

Resposta

A equação geral do plano é
x-2y+3=0

Exercícios relacionados