Nos seguintes casos, determinar a equação do plano que contém as duas retas dadas:
r1:lx=-3+t y=-t z=4 e r2:lx+22=y-1-2 z=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém as duas retas
r1: x=-3+t, y=-t, z=4 e r2: x=-2+2s, y=1-2s, z=0
O conteúdo aqui é geometria analítica em R^3: para achar a equação de um plano dado duas retas paralelas, vamos precisar
  1. extrair vetores diretores de cada reta,
  2. verificar que elas são paralelas,
  3. escolher um ponto em cada reta e formar o vetor que liga esses pontos,
  4. usar produto vetorial para obter um vetor normal ao plano,
  5. montar a equação do plano com esse normal.

Passo 2

Dos parâmetros temos os vetores diretores
v1=(1,-1,0) para r1, v2=(2,-2,0) para r2
Observamos que v2=2,v1, logo as retas são paralelas.

Passo 3

Escolhemos um ponto em cada reta, por exemplo para r1 em t=0
A=(-3,0,4),
e para r2 em s=0
B=(-2,1,0)
O vetor que liga A a B é
AB=B-A=(1,1,-4)

Passo 4

O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial
n = v1 times AB = (1,-1,0)times(1,1,-4)
Calculando componente a componente,
n=(,(-1)(-4)-0cdot1,;- (1cdot(-4)-0cdot1),;1cdot1-(-1)cdot1,)=(4,4,2)
Podemos simplificar para
n=(2,2,1)

Passo 5

A equação do plano com normal n=(2,2,1) que passa por A=(-3,0,4) vem de
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0 ;Longrightarrow; 2(x+3)+2(y-0)+1(z-4)=0
Expandindo,
2x+6+2y+z-4=0 Longrightarrow 2x+2y+z+2=0

Resposta

2x+2y+z+2=0

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