Considere os vetores:
u=(3,7,0) ; w=(-2,6,-12) ; v=(1,-3,6)
Os vetores (u, v, w) são LD ou LI? Formam base? Explique.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=(3,7,0), v=(1,-3,6), w=(-2,6,-12)
e pede para verificar se são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD) e se formam base de R^3. Para isso vamos usar a definição: u,v,w são LI se a única solução de
alpha,u + beta,v + gamma,w = 0
for alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Montamos o sistema homogêneo em componentes:
alpha,(3,7,0) ;+;beta,(1,-3,6);+;gamma,(-2,6,-12);=;(0,0,0),
que dá as equações
3alpha + beta -2gamma = 0, 7alpha -3beta +6gamma = 0, 7,0alpha +6beta -12gamma = 0

Passo 3

Da terceira equação vem
6beta -12gamma = 0Longrightarrow beta = 2gamma
Substituindo em 3alpha + beta -2gamma=0 obtemos
3alpha +2gamma -2gamma = 3alpha =0Longrightarrow alpha=0
A segunda equação fica então 0 -3(2gamma)+6gamma=0, que é satisfeita para todo gamma. Logo há soluções não triviais (por exemplo gamma=1 beta=2 e alpha=0), o que mostra que são LD. De fato a relação é
2,v + 1,w = 0 Longrightarrow w = -2,v

Passo 4

Como há dependência linear, o conjunto u,v,w tem posto <3. Em R^3 uma base precisa de 3 vetores LI, mas aqui só temos efetivamente 2 vetores independentes ( v e u). Portanto não formam base de R^3.

Resposta

Eles são linearmente dependentes e não formam base de R^3.

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