Considere os vetores:
u=(3,7,0) ; w=(-2,6,-12) ; v=(1,-3,6)
Os vetores (v, w) são LD ou LI? Formam base? Explique.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(3,7,0), w=(-2,6,-12) e v=(1,-3,6) e pergunta se o par (v,w) é linearmente dependente (LD) ou independente (LI) em R^3 e se forma base. Para vetores em R^3, dois vetores são LI se nenhum é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Suponhamos que exista escalar k tal que
w=k,v.
Igualando coordenadas:
kcdot1 = -2 Rightarrow k=-2,
kcdot(-3)=6 Rightarrow -2cdot(-3)=6checkmark,
kcdot6=-12 Rightarrow -2cdot6=-12checkmark
Portanto w=-2,v.

Passo 3

Como w é múltiplo escalar de v, os dois não são LI, mas sim LD. Em consequência, o conjunto v,w gera apenas uma reta em R^3 e não todo o espaço, logo não forma base de R^3.

Resposta

Os vetores v e w são linearmente dependentes e não formam base de R^3.

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