Considere os vetores v1=(1,1,0) e v2=(0,1,1) de R^3. Determine o subespaço gerado pelos vetores v1 e v2.
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Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^3,
v1 = (1,1,0), v2 = (0,1,1),
e pede o subespaço gerado por eles, ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares alpha v1 + beta v2. Esse é um problema de Espaços Vetoriais e busca a descrição do plano (passando pela origem) gerado por esses dois vetores.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear geral:
alpha,v1 + beta,v2 = alpha,(1,1,0) + beta,(0,1,1) = (alpha,;alpha+beta,;beta)
Chamando (x,y,z) = (alpha,alpha+beta,beta), vemos que os parâmetros alpha,beta podem ser identificados com x e z.

Passo 3

Da igualdade (x,y,z) = (alpha,alpha+beta,beta) obtemos
alpha = x, beta = z, y = alpha + beta = x + z
Logo todo vetor do subespaço satisfaz a equação
y = x + z

Passo 4

Portanto o subespaço gerado por v1 e v2 é o plano
(x,y,z)inR^3mid y = x + z,
que passa pela origem e tem dimensão 2.

Resposta

O subespaço gerado é
Spanv1,v2 = (x,y,z)inR^3mid y = x + z

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