Exercício 10. Dadas as retas
r:(x, y, z)=(0,0,2)+lambda(1,1,3), com lambda in R e s:lx=2 y=t z=2-t , com t in R e o ponto A=(1,5,1), ache uma equação vetorial da reta m que passa por A e seja ortogonal a r e a s.

Passo 1

O enunciado dá as retas
r: (x,y,z) = (0,0,2) + lambda,(1,1,3), lambdainR,
s:; x=2, y=t, z=2-t, tinR,
e o ponto A=(1,5,1). Precisamos achar uma reta m que passe por A e seja ortogonal simultaneamente a r e a s. O conteúdo-chave é usar o produto vetorial em R^3 para obter um vetor perpendicular a dois vetores dados.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor de r. Comparando com a forma (0,0,2)+lambda,(u1,u2,u3), vemos que
u = (1,1,3)
é o vetor diretor de r.

Passo 3

Escrevemos s em forma vetorial. Note que x=2 é constante, y=t, z=2-t. Então um ponto inicial é (2,0,2) e o vetor diretor, obtido das componentes que variam com t, é
v = (0,1,-1)

Passo 4

O vetor diretor de m deve ser ortogonal a u e a v. Em R^3, isso se consegue tomando o produto vetorial
d = utimes v = i & j & k 1 & 1 & 3 0 & 1 & -1 = (-4,,1,,1)
Como dneq0, ele serve como direção de m.

Passo 5

A reta m passa por A=(1,5,1) e tem vetor diretor d=(-4,1,1). Logo a equação vetorial de m é
m:;(x,y,z) = (1,5,1) + mu,(-4,1,1), muinR

Resposta

m:(x,y,z) = (1,5,1) + mu(-4,1,1),;muinR

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