Considere os vetores
\vec{A}=(25,-13) e \vec{B}=(37,21)
Assinale a alternativa que informa a ordem correta entre as quantidades M_{1}=|\vec{B}+\vec{A}|, M_{2}=|5 \vec{A}+5 \vec{B}| e M_{3}=|5 \vec{A}+\vec{B}|
A. M_{1}<M_{3}<M_{2}
B. M_{2}=M_{3}<M_{1}
C. M_{1}<M_{2}<M_{3}
D. M_{2}<M_{1}=M_{3}
E. M_{1}=M_{3}=M_{2}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{A}=(25,-13) e \vec{B}=(37,21) e pede para comparar as quantidades
M_{1} = \lvert \vec{A} + \vec{B}\rvert,\quad M_{2} = \lvert 5\vec{A} + 5\vec{B}\rvert,\quad M_{3} = \lvert 5\vec{A} + \vec{B}\rvert.
O conteúdo envolve soma de componentes de vetores, cálculo de norma Euclidiana e a propriedade \lvert k\mathbf{v}\rvert = \lvert k\rvert\,\lvert \mathbf{v}\rvert.

Passo 2

Calculemos \vec{A} + \vec{B} por componente:
\vec{A} + \vec{B} = (25+37,\,-13+21) = (62,\,8).
Logo,
M_{1} = \lvert \vec{A} + \vec{B}\rvert = \sqrt{62^{2} + 8^{2}} = \sqrt{3844 + 64} = \sqrt{3908} = 2\sqrt{977} \approx 62{,}51.

Passo 3

Para M_{2} observe que
5\vec{A} + 5\vec{B} = 5(\vec{A} + \vec{B}),
então
M_{2} = \lvert 5(\vec{A} + \vec{B})\rvert = 5\,\lvert \vec{A} + \vec{B}\rvert = 5\,M_{1} \approx 5 \times 62{,}51 = 312{,}55.

Passo 4

Para M_{3} somamos 5\vec{A} e \vec{B}:
5\vec{A} = (125,\,-65),\quad 5\vec{A} + \vec{B} = (125+37,\,-65+21) = (162,\,-44).
Assim
M_{3} = \lvert 5\vec{A} + \vec{B}\rvert = \sqrt{162^{2} + (-44)^{2}} = \sqrt{26244 + 1936} = \sqrt{28180} = 2\sqrt{7045} \approx 167{,}97.

Passo 5

Comparando os valores numéricos obtidos:
M_{1}\approx62{,}51,\quad M_{3}\approx167{,}97,\quad M_{2}\approx312{,}55,
vemos que
M_{1} < M_{3} < M_{2}.

Resposta

(A)

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