Considere os vetores \vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath} e \vec{b}=\hat{\imath}-\hat{\jmath}. Determine o módulo, direção e sentido dos vetores:
\vec{a}+\vec{b}

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Os vetores são \vec{a}=2\hat{\imath}-\hat{\jmath} e \vec{b}=\hat{\imath}-\hat{\jmath}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor \vec{a}+\vec{b}.

Passo 2

Somar vetores em componentes (explicação didática):
  • Vetores dados na forma cartesiana têm componentes ao longo de \hat{\imath} (eixo x) e \hat{\jmath} (eixo y).
  • A soma de vetores é feita componente a componente: somam-se as componentes x e somam-se as componentes y.
Aplicando isso:
\vec{a}+\vec{b}=(2\hat{\imath}-\hat{\jmath})+(\hat{\imath}-\hat{\jmath})=(2+1)\hat{\imath}+(-1-1)\hat{\jmath}.
Logo,
\vec{a}+\vec{b}=3\hat{\imath}-2\hat{\jmath}.

Passo 3

Módulo (explicação didática):
  • O módulo (ou comprimento) de um vetor \vec{v}=v_x\hat{\imath}+v_y\hat{\jmath} é dado por
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2},
que vem do teorema de Pitágoras aplicando-se ao triângulo formado pelas componentes.
Para \vec{a}+\vec{b}=3\hat{\imath}-2\hat{\jmath} temos v_x=3 e v_y=-2. Então
\|\vec{a}+\vec{b}\|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
Em valor decimal:
\|\vec{a}+\vec{b}\|\approx 3{,}606.

Passo 4

Direção (explicação didática):
  • A direção de um vetor no plano pode ser dada pelo ângulo \theta que ele forma com o eixo positivo x. Para um vetor \vec{v}=(v_x,v_y),
\theta=\operatorname{atan2}(v_y,v_x),
onde \operatorname{atan2} é uma versão do arco-tangente que considera o quadrante correto. Se usar apenas \theta=\arctan\!\left(\dfrac{v_y}{v_x}\right), é preciso ajustar o ângulo conforme o sinal de v_x e v_y.
Aqui v_x=3>0 e v_y=-2<0, portanto o vetor está no quadrante IV (para a direita e para baixo). Podemos calcular
\theta=\arctan\!\left(\frac{-2}{3}\right).
Numericamente:
\theta\approx -33{,}690^\circ\quad(\text{o que significa }33{,}690^\circ\text{ abaixo do eixo }+x).
Se preferir um ângulo medido no sentido anti-horário desde o eixo +x entre 0^\circ e 360^\circ,
\theta \approx 360^\circ-33{,}690^\circ=326{,}310^\circ.
Em radianos:
\theta\approx -0{,}588\\ \text{rad}\quad\text{ou}\quad \theta\approx 5{,}695\\ \text{rad}.

Passo 5

Sentido (explicação didática e conclusão):
  • O “sentido” é simplesmente para onde a seta do vetor aponta.
  • Como a componente x é positiva ( 3) e a componente y é negativa ( -2), o vetor aponta para a direita e para baixo, isto é, para o quarto quadrante.
Também podemos apresentar o versor (vetor unitário) na direção de \vec{a}+\vec{b} — útil para indicar direção sem considerar módulo:
\hat{u}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{\|\vec{a}+\vec{b}\|=\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{13}}\bigl(3\hat{\imath}-2\hat{\jmath}\bigr).

Resposta

\vec{a}+\vec{b}=3\hat{\imath}-2\hat{\jmath}, \|\vec{a}+\vec{b}\|=\sqrt{13}\approx3{,}606
Direção: \theta=\arctan\!\left(\dfrac{-2}{3}\right)\approx -33{,}690^\circ (ou 326{,}310^\circ medido 0^\circ 360^\circ); em radianos \theta\approx-0{,}588\\ \text{rad}
Sentido: aponta para a direita e para baixo (quadrante IV)

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