Use a definição de parábola para encontrar as equações das parábolas a seguir.
A párabola tem a reta
como diretriz e o ponto
como foco.
A párabola tem a reta
Passo 1
O enunciado dá:
- Diretriz:
. - Foco:
.
O que se pede:
- Encontrar a(s) equação(ões) da(s) parábola(s) definidas por “pontos equidistantes do foco e da diretriz” (ou seja, usar a definição geométrica da parábola).
Informações que vamos usar (sem resolver ainda):
- A distância de um ponto
ao foco é a distância euclidiana . - A distância de
à reta pode ser calculada com a fórmula quando a reta está em . Vamos colocar a reta nessa forma e aplicar a definição: pontos tais que distância a = distância à diretriz.
Passo 2
Colocar a diretriz em forma
. A reta dada é
que reescrevemos como
Portanto
,
,
e
.
Passo 3
Escrever a igualdade das distâncias (definição da parábola). Para um ponto genérico
temos:
Isto é a equação da condição geométrica. Para obter a equação algébrica da curva, vamos eliminar raízes e valor absoluto.
Passo 4
Elevar ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz. Ao quadrar, o valor absoluto desaparece por causa do quadrado:
Multiplicando tudo por
para ficar sem denominador:
Passo 5
Expandir cada termo passo a passo.
Primeiro os quadrados no lado esquerdo:
Somando:
Multiplicando por
:
Agora o quadrado do lado direito:
Passo 6
Colocar tudo numa só equação subtraindo o lado direito do esquerdo:
Agrupando termos semelhantes (calculei termo a termo):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Constante:
.
Logo a equação fica
Passo 7
Verificações e comentário didático (importante para entender na prova):
- Esta é a equação implícita da parábola no plano (
) obtida pela definição distância foco-diretriz. - Para confirmar que se trata de uma parábola, use o discriminante da cônica na forma
: aqui , , . O discriminante é , o que caracteriza uma parábola (quando igual a zero). - Geometricamente, a parábola está no mesmo lado da diretriz em que está o foco. Para ver isso, calcule
no foco :
Portanto a parábola corresponde aos pontos da equação acima que também satisfazem
(isso seleciona o ramo físico apontando para o foco).
Passo 8
(Extra útil na prova) Coordenadas do vértice da parábola — como se calcula de forma prática sem rotacionar e completar quadrados: o pé da perpendicular da diretriz sobre o foco é o ponto
da diretriz mais próximo do foco; o vértice
é o ponto médio entre o foco
e
.
Calcule
(fórmula do pé da perpendicular): para
e foco
,
Então
O vértice
é o ponto médio entre
e
:
Isto confirma a orientação da parábola (abre na direção do foco) e é um resultado prático que costuma cair em prova.
Resposta
4x2-4xy+y2-18x-6y+24=0