Use a definição de parábola para encontrar as equações das parábolas a seguir.
A párabola tem a reta x+2 y=1 como diretriz e o ponto (2,1) como foco.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Diretriz: x+2y=1.
  • Foco: (2,1).
O que se pede:
  • Encontrar a(s) equação(ões) da(s) parábola(s) definidas por “pontos equidistantes do foco e da diretriz” (ou seja, usar a definição geométrica da parábola).
Informações que vamos usar (sem resolver ainda):
  • A distância de um ponto P=(x,y) ao foco F=(2,1) é a distância euclidiana \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}.
  • A distância de P à reta x+2y=1 pode ser calculada com a fórmula \dfrac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} quando a reta está em Ax+By+C=0. Vamos colocar a reta nessa forma e aplicar a definição: pontos P tais que distância a F = distância à diretriz.

Passo 2

Colocar a diretriz em forma Ax+By+C=0. A reta dada é
x+2y=1,
que reescrevemos como
x+2y-1=0.
Portanto A=1, B=2, C=-1 e \sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.

Passo 3

Escrever a igualdade das distâncias (definição da parábola). Para um ponto genérico P=(x,y) temos:
\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=\frac{|x+2y-1|}{\sqrt{5}}.
Isto é a equação da condição geométrica. Para obter a equação algébrica da curva, vamos eliminar raízes e valor absoluto.

Passo 4

Elevar ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz. Ao quadrar, o valor absoluto desaparece por causa do quadrado:
(x-2)^2+(y-1)^2=\frac{(x+2y-1)^2}{5}.
Multiplicando tudo por 5 para ficar sem denominador:
5\bigl((x-2)^2+(y-1)^2\bigr)=(x+2y-1)^2.

Passo 5

Expandir cada termo passo a passo.
Primeiro os quadrados no lado esquerdo:
(x-2)^2 = x^2-4x+4, \qquad (y-1)^2 = y^2-2y+1.
Somando:
(x-2)^2+(y-1)^2 = x^2+y^2-4x-2y+5.
Multiplicando por 5:
5\bigl(x^2+y^2-4x-2y+5\bigr)=5x^2+5y^2-20x-10y+25.
Agora o quadrado do lado direito:
(x+2y-1)^2 = x^2+4y^2+1+4xy-2x-4y.

Passo 6

Colocar tudo numa só equação subtraindo o lado direito do esquerdo:
5x^2+5y^2-20x-10y+25 - \bigl(x^2+4y^2+1+4xy-2x-4y\bigr)=0.
Agrupando termos semelhantes (calculei termo a termo):
  • Coeficiente de x^2: 5-1=4.
  • Coeficiente de y^2: 5-4=1.
  • Coeficiente de xy: 0-4=-4.
  • Coeficiente de x: -20 - (-2) = -20+2 = -18.
  • Coeficiente de y: -10 - (-4) = -10+4 = -6.
  • Constante: 25-1=24.
Logo a equação fica
4x^2-4xy+y^2-18x-6y+24=0.

Passo 7

Verificações e comentário didático (importante para entender na prova):
  • Esta é a equação implícita da parábola no plano ( x,y) obtida pela definição distância foco-diretriz.
  • Para confirmar que se trata de uma parábola, use o discriminante da cônica na forma Ax^2+Bxy+Cy^2+\dots=0: aqui A=4, B=-4, C=1. O discriminante é B^2-4AC = (-4)^2-4\cdot4\cdot1 =16-16=0, o que caracteriza uma parábola (quando igual a zero).
  • Geometricamente, a parábola está no mesmo lado da diretriz em que está o foco. Para ver isso, calcule x+2y-1 no foco (2,1):
2+2\cdot1-1=3>0.
Portanto a parábola corresponde aos pontos da equação acima que também satisfazem x+2y-1>0 (isso seleciona o ramo físico apontando para o foco).

Passo 8

(Extra útil na prova) Coordenadas do vértice da parábola — como se calcula de forma prática sem rotacionar e completar quadrados: o pé da perpendicular da diretriz sobre o foco é o ponto H da diretriz mais próximo do foco; o vértice V é o ponto médio entre o foco F e H.
Calcule H (fórmula do pé da perpendicular): para A=1,B=2,C=-1 e foco (2,1),
Ax_0+By_0+C = 2+2-1=3,\qquad A^2+B^2=5.
Então
H=\Bigl(2-\frac{1\cdot 3}{5},\;1-\frac{2\cdot 3}{5}\Bigr)=\Bigl(\frac{7}{5},-\frac{1}{5}\Bigr).
O vértice V é o ponto médio entre F=(2,1) e H=\bigl(\tfrac{7}{5},-\tfrac{1}{5}\bigr):
V=\Bigl(\frac{2+\tfrac{7}{5}}{2},\;\frac{1+(-\tfrac{1}{5})}{2}\Bigr)=\Bigl(\frac{17}{10},\;\frac{2}{5}\Bigr).
Isto confirma a orientação da parábola (abre na direção do foco) e é um resultado prático que costuma cair em prova.

Resposta

4x2-4xy+y2-18x-6y+24=0

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