Use a definição de parábola para encontrar as equações das parábolas a seguir.
A parábola tem a reta x=4 como diretriz e o ponto (2,5) como vértice.

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras:
  • A diretiz é a reta x=4.
  • O vértice é o ponto (2,5).
O que se pede: encontrar a(s) equação(ões) da(s) parábola(s) que têm essas características.

Passo 2

Primeiro, revisar a definição e a fórmula padrão da parábola (essa é a “aula” rápida que vai salvar na prova).
Definição geométrica: a parábola é o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância do foco e da diretiz.
Forma padrão para uma parábola com eixo horizontal e vértice em (h,k):
(y-k)^2 = 4p\,(x-h).
Explicando cada símbolo:
  • (h,k) é o vértice da parábola.
  • p é a distância algébrica do vértice ao foco: o foco fica em (h+p,k).
  • A diretiz, para essa orientação, é a reta vertical x=h-p.
  • O sinal de p indica para que lado a parábola abre: se p>0 abre para a direita; se p<0 abre para a esquerda.
Observação didática: essa fórmula vem da igualdade distância ao foco = distância à diretiz. Tomando o foco em (h+p,k) e a diretiz x=h-p, e calculando distâncias e quadrando, chega-se a essa forma.

Passo 3

Aplicar a fórmula aos dados do enunciado. Aqui o vértice é (h,k)=(2,5). Sabemos também que a diretiz é x=4. Pela relação entre diretiz e vértice:
\text{diretiz } x = h - p.
Substituindo h=2 e igualando à diretiz dada:
4 = h - p = 2 - p \quad\Rightarrow\quad p = 2-4 = -2.
Interpretação: p=-2 indica que o foco está à esquerda do vértice e a parábola abre para a esquerda.
O foco, então, é
(h+p,k) = (2+(-2),\,5) = (0,5).

Passo 4

Agora montar a equação padrão com h=2, k=5 e p=-2:
(y-5)^2 = 4p\,(x-2) = 4(-2)(x-2) = -8(x-2).
Essa é a forma do vértice (forma canônica). Para quem prefere forma polinomial expandida, desenvolvemos:
(y-5)^2 = -8(x-2)
\Rightarrow y^2 -10y +25 = -8x +16
\Rightarrow 8x + y^2 -10y +9 = 0.

Passo 5

Verificação rápida pela definição (opcional, mas boa prática): tomar um ponto genérico (x,y) da parábola deve satisfazer igualdade de distâncias
\sqrt{(x-0)^2 + (y-5)^2} = |x-4|.
Elevando ao quadrado e simplificando recupera-se exatamente (y-5)^2 = -8(x-2). Isso confirma consistência entre foco, diretiz e equação encontrada.

Resposta

(y-5)^2 = -8(x-2)
8x + y^2 -10y +9 = 0

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