Use a definição de parábola para encontrar as equações das parábolas a seguir.
A parábola tem a reta
como diretriz e o ponto
como vértice.
A parábola tem a reta
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras:
- A diretiz é a reta
. - O vértice é o ponto
.
O que se pede: encontrar a(s) equação(ões) da(s) parábola(s) que têm essas características.
Passo 2
Primeiro, revisar a definição e a fórmula padrão da parábola (essa é a “aula” rápida que vai salvar na prova).
Definição geométrica: a parábola é o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância do foco e da diretiz.
Forma padrão para uma parábola com eixo horizontal e vértice em
:
Explicando cada símbolo:
-
é o vértice da parábola. -
é a distância algébrica do vértice ao foco: o foco fica em . - A diretiz, para essa orientação, é a reta vertical
. - O sinal de
indica para que lado a parábola abre: se abre para a direita; se abre para a esquerda.
Observação didática: essa fórmula vem da igualdade distância ao foco = distância à diretiz. Tomando o foco em
e a diretiz
, e calculando distâncias e quadrando, chega-se a essa forma.
Passo 3
Aplicar a fórmula aos dados do enunciado. Aqui o vértice é
. Sabemos também que a diretiz é
. Pela relação entre diretiz e vértice:
Substituindo
e igualando à diretiz dada:
Interpretação:
indica que o foco está à esquerda do vértice e a parábola abre para a esquerda.
O foco, então, é
Passo 4
Agora montar a equação padrão com
,
e
:
Essa é a forma do vértice (forma canônica). Para quem prefere forma polinomial expandida, desenvolvemos:
Passo 5
Verificação rápida pela definição (opcional, mas boa prática): tomar um ponto genérico
da parábola deve satisfazer igualdade de distâncias
Elevando ao quadrado e simplificando recupera-se exatamente
. Isso confirma consistência entre foco, diretiz e equação encontrada.