Se \operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)=-5, determine \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\\ 2 a_{21} & 2 a_{22} & 2 a_{23} \\\ a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & a_{13}+a_{23}\end{array}\right), sem calcular os determinantes envolvidos (use as propriedades de determinante).

Passo 1

O enunciado dá
\det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}=-5
e pede
\det\begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33}\\\\ 2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23}\\\ a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & a_{13}+a_{23} \end{pmatrix}
usando apenas propriedades de determinante.

Passo 2

Fatoramos 2 da segunda linha do determinante pedido. Assim
\det\begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33}\\\\ 2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23}\\\ a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & a_{13}+a_{23} \end{pmatrix} =2\, \det\begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & a_{13}+a_{23} \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora trocamos a primeira linha com a terceira, o que inverte o sinal:
2\, \det\begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & a_{13}+a_{23} \end{pmatrix} =-2\, \det\begin{pmatrix} a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & a_{13}+a_{23}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.

Passo 4

Usamos a linearidade na primeira linha do último determinante:
\det\begin{pmatrix} a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & a_{13}+a_{23}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} +\det\begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.
O segundo é zero (duas linhas iguais) e o primeiro é -5. Logo esse determinante vale -5.

Passo 5

Reunindo tudo, o determinante pedido é
-2\times(-5)=10.

Resposta

10

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