Seja A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ -1 & 1 & 1\end{array}\right). Determine se A ć inversível. Se for, escreva A, explicitamente, como um produto de matrizes elementares.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & -1\\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede para verificar se A é inversível e, em caso afirmativo, escrever A como produto de matrizes elementares.
Conteúdo: determinante e eliminação de Gauss (operações elementares de linha).

Passo 2

Calculemoss o determinante de A para ver se é não nulo.
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[3pt]-1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots)
\det(A) =1\bigl(1\cdot1 -(-1)\cdot1\bigr) -1\bigl(1\cdot1 -(-1)\cdot(-1)\bigr) =1\cdot2 -1\cdot0 =2\neq0.
Logo, A é inversível.]

Passo 3

Vamos aplicar eliminação de Gauss e anotar cada operação como matriz elementar à esquerda de A.
a) R_2\gets R_2 - R_1 corresponde à
E_{21} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1& 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
b) R_3\gets R_3 + R_1 corresponde à
E_{31} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Após E_{31}\,E_{21}\,A obtemos \bigl[\begin{smallmatrix}1&1&0\\\ 0&0&-1\\\ 0&2&1\end{smallmatrix}\bigr].

Passo 4

c) Troca de R_2 com R_3:
E_{(23)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
de forma que E_{(23)}\,E_{31}\,E_{21}\,A=\bigl[\begin{smallmatrix}1&1&0\\\ 0&2&1\\\ 0&0&-1\end{smallmatrix}\bigr].

Passo 5

d) R_2\gets \tfrac12R_2
E_{22}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac12 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e) R_3\gets -R_3
E_{33}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
levando a \bigl[\begin{smallmatrix}1&1&0\\\ 0&1&\tfrac12\\\ 0&0&1\end{smallmatrix}\bigr].

Passo 6

f) R_2\gets R_2 - \tfrac12\,R_3 corresponde a
E_{23} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
g) R_1\gets R_1 - R_2 corresponde a
E_{12} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Após E_{12}\,E_{23}\,E_{33}\,E_{22}\,E_{(23)}\,E_{31}\,E_{21}\,A chegamos à identidade I_3.

Passo 7

Da equação
E_{12}\,E_{23}\,E_{33}\,E_{22}\,E_{(23)}\,E_{31}\,E_{21}\,A = I_3
segue
A = \bigl(E_{12}\,E_{23}\,E_{33}\,E_{22}\,E_{(23)}\,E_{31}\,E_{21}\bigr)^{-1} = E_{21}^{-1}\,E_{31}^{-1}\,E_{(23)}^{-1}\,E_{22}^{-1}\,E_{33}^{-1}\,E_{23}^{-1}\,E_{12}^{-1}.
Como inversas de matrizes elementares são também elementares, nomeamos:
E_{21}^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 1&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix}, \quad E_{31}^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ -1&0&1\end{pmatrix}, \quad E_{(23)}^{-1}=E_{(23)},
E_{22}^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix}, \quad E_{33}^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&-1\end{pmatrix},
E_{23}^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&\tfrac12\\\ 0&0&1\end{pmatrix}, \quad E_{12}^{-1} = \begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix}.

Resposta

A = \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 1&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix} \;\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ -1&0&1\end{pmatrix} \;\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&0&1\\\ 0&1&0\end{pmatrix} \;\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix} \;\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&-1\end{pmatrix} \;\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&\tfrac12\\\ 0&0&1\end{pmatrix} \;\begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados