Considere os vetores \vec{u}=(2,1,3), \vec{v}=(-1,1,-1) e \vec{w}=(1,8,4).
(a) Os vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} formam uma base para \mathbb{R}^{3} ? O vetor \vec{\alpha}=(4,3,6) é combinaçāo linear dos vetores \vec{u}, \vec{v} ?
(b) Baseado na sua resposta anterior, algum dos dois vetores, \vec{w} ou \vec{\alpha}, pode ser escolhido para que \mathcal{B}=\{\vec{u}, \vec{v}, \ldots\} seja uma base de \mathbb{R}^{3} ? Se sim escolha um deles, se não escolha outro para compor a base \mathcal{B}.
(c) Considere a base B que você obteve no item anterior. \mathrm{Se} \vec{s}=(-2,-1,0)_{\mathcal{B}} quais são suas coordenadas na base D ? sendo que a base \mathcal{D}=\{(-1,-1,2),(-1,-1,1),(3,2,1)\}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(2,1,3),\; \vec{v}=(-1,1,-1),\; \vec{w}=(1,8,4) e o vetor \vec{\alpha}=(4,3,6).
As perguntas são:
  1. (a) Os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} formam uma base de \mathbb{R}^3?
    (a) O vetor \vec{\alpha} é combinação linear de \vec{u},\vec{v}?
  2. (b) Com base na resposta anterior, algum dos vetores \vec{w} ou \vec{\alpha} pode ser escolhido para que \mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v},\ldots\} seja uma base de \mathbb{R}^3? Se sim, escolha qual.
  3. (c) Usando a base \mathcal{B} escolhida no item (b), seja \vec{s}=(-2,-1,0)_{\mathcal{B}}. Quais são as coordenadas de \vec{s} na base \mathcal{D}=\{(-1,-1,2),(-1,-1,1),(3,2,1)\}?
Informações relevantes já extraídas do enunciado: todos os vetores listados e as bases candidatas. A resolução começará no passo seguinte.

Passo 2

Decidir se \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é base de \mathbb{R}^3.
  • Lembrete rápido: em \mathbb{R}^3, um conjunto de três vetores é base se e somente se for linearmente independente. Uma forma prática de testar independência é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se \det\neq0 então são independentes; se \det=0 então são dependentes.
  • Monto a matriz com colunas \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 8\\[4pt] 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}.
  • Calculo o determinante usando expansão pela primeira linha (vou calcular os menores explicitamente):
\begin{aligned} \det(A) &=2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 8 \\[2pt] -1 & 4\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 8 \\[2pt] 3 & 4\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[2pt] 3 & -1\end{pmatrix} \\\ &=2\cdot(1\cdot4-8\cdot(-1)) -(-1)\cdot(1\cdot4-8\cdot3) +1\cdot(1\cdot(-1)-1\cdot3)\\[4pt] &=2\cdot(4+8) -(-1)\cdot(4-24) + ( -1-3)\\[4pt] &=2\cdot12 -(-1)\cdot(-20) -4\\[4pt] &=24 -20 -4 = 0. \end{aligned}
  • Conclusão deste passo: \det(A)=0, portanto \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é linearmente dependente e NÃO forma uma base de \mathbb{R}^3.]

Passo 3

Verificar se \vec{\alpha}\) é combinação linear de \(\vec{u},\vec{v}\). - Isso significa checar se existem escalares \(a,b\) tais que \[a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{\alpha}.
  • Escrevo o sistema coordenada a coordenada:
\begin{cases} 2a - b = 4,\\[4pt] a + b = 3,\\[4pt] 3a - b = 6. \end{cases}
  • Resolvo as duas primeiras equações: da segunda \;b=3-a\]. Substituindo na primeira: \[2a - (3-a)=4 \quad\Rightarrow\quad 2a-3+a=4 \quad\Rightarrow\quad 3a=7 \quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{7}{3}.\] Então \(b=3-a=3-\dfrac{7}{3}=\dfrac{2}{3}.
  • Verifico a terceira equação com esses valores:
3a-b = 3\cdot\dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{3} = 7 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{19}{3} \neq 6.
  • Como a terceira equação não é satisfeita, não existem a,b que cumpram as três equações simultaneamente. Logo \vec{\alpha} NÃO é combinação linear de \vec{u},\vec{v}.]

Passo 4

Interpretação para escolher a terceira vetor da base \mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v},\ldots\}\). - Observações úteis: \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) são claramente linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), então geram um plano em \(\mathbb{R}^3\). Para completar uma base precisamos de um terceiro vetor que NÃO pertença ao mesmo plano (isto é, que não seja combinação linear de \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\)). - Do Passo 3 já sabemos que \(\vec{\alpha}\) não pertence ao espaço gerado por \(\{\vec{u},\vec{v}\}\), então \(\vec{\alpha}\) é um candidato adequado. - Do Passo 2 a dependência entre \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) implica que \(\vec{w}\) está no espaço gerado por \(\{\vec{u},\vec{v}\}\). Para ficar explícito, podemos resolver \(a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{w}\): \[\begin{cases} 2a-b=1,\\[4pt] a+b=8,\\[4pt] 3a-b=4. \end{cases}
Da segunda b=8-a\]. Substituindo na primeira: \[2a-(8-a)=1 \Rightarrow 3a=9 \Rightarrow a=3,\quad b=5.\] Verificando a terceira: \(3a-b=9-5=4 OK. Logo \vec{w}=3\vec{u}+5\vec{v}, ou seja, \vec{w} está no span de \vec{u},\vec{v} e não serve para completar uma base.
  • Portanto a escolha correta para completar \{\vec{u},\vec{v}\} é \vec{\alpha}. Formo a base candidata
\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v},\vec{\alpha}\}.
  • Para confirmar que \mathcal{B} é de fato base, comprovo que os três vetores são independentes computando o determinante da matriz com colunas \vec{u},\vec{v},\vec{\alpha}:
B=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 4\\[4pt] 1 & 1 & 3\\[4pt] 3 & -1 & 6 \end{pmatrix}.
Cálculo do determinante (expansão pela primeira linha):
\begin{aligned} \det(B) &=2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]-1 & 6\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]3 & 6\end{pmatrix} +4\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]3 & -1\end{pmatrix}\\[4pt] &=2\cdot(1\cdot6-3\cdot(-1)) -(-1)\cdot(1\cdot6-3\cdot3) +4\cdot(1\cdot(-1)-1\cdot3)\\[4pt] &=2\cdot(6+3) -(-1)\cdot(6-9) +4\cdot(-1-3)\\[4pt] &=2\cdot9 -(-1)\cdot(-3) +4\cdot(-4)\\[4pt] &=18 -3 -16 = -1 \neq 0. \end{aligned}
Como o determinante é diferente de zero, \mathcal{B} é realmente uma base de \mathbb{R}^3.]

Passo 5

Encontrar o vetor \vec{s} em coordenadas canônicas (padrão) a partir de suas coordenadas na base \mathcal{B}.
  • Foi dado \vec{s}=(-2,-1,0)_{\mathcal{B}}. Isso significa
\vec{s}=-2\vec{u}-1\vec{v}+0\vec{\alpha} = -2\vec{u}-\vec{v}.
  • Calculo componente a componente:
-2\vec{u} = -2(2,1,3)=(-4,-2,-6),\qquad -\vec{v}= -(-1,1,-1)=(1,-1,1).
Somando:
\vec{s}=(-4+1,\,-2-1,\,-6+1)=(-3,-3,-5).
Portanto \vec{s} nas coordenadas canônicas é (-3,-3,-5).

Passo 6

Converter \vec{s}=(-3,-3,-5)\) para coordenadas na base \(\mathcal{D}=\{\vec{d}_1,\vec{d}_2,\vec{d}_3\}\) com \(\vec{d}_1=(-1,-1,2),\;\vec{d}_2=(-1,-1,1),\;\vec{d}_3=(3,2,1)\). - Queremos escalares \(x,y,z\) tais que \[x\vec{d}_1+y\vec{d}_2+z\vec{d}_3=\vec{s}.
  • Escrevo o sistema coordenada a coordenada:
\begin{cases} - x - y + 3z = -3,\\[4pt] - x - y + 2z = -3,\\[4pt] 2x + y + z = -5. \end{cases}
  • Subtraindo a segunda equação da primeira obtém-se:
(-x-y+3z) - (-x-y+2z) = -3 - (-3) \quad\Rightarrow\quad z = 0.
  • Com z=0\], a segunda equação vira \[-x-y=-3 ou x+y=3. A terceira equação com z=0 é 2x+y=-5.
  • Resolvo o sistema
\begin{cases} x+y=3,\\[4pt] 2x+y=-5. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda: (2x+y)-(x+y)=-5-3\Rightarrow x=-8\]. Então \(y=3-x=3-(-8)=11.
  • Resultado: x=-8,\;y=11,\;z=0. Assim as coordenadas de \vec{s} na base \mathcal{D} são (-8,11,0)_{\mathcal{D}}.]

Resposta

(a) \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} não forma base de \mathbb{R}^3. \vec{\alpha} não é combinação linear de \vec{u},\vec{v}.
(b) Pode-se escolher \vec{\alpha}. Uma base válida é \mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v},\vec{\alpha}\}.
(c) \vec{s} tem coordenadas (-8,11,0)_{\mathcal{D}}.

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