Identifique a cônica 7 x^{2}+6 \sqrt{3} x y+13 y^{2}-16=0, colocando a equação na forma reduzid Determine, deixando claro sempre que possível, vértices, centro, focos, distâncias focais, excent cidade, assíntotas (se houver), os pontos do eixo conjugado (se houver) tudo isto em relação sistema de coordenadas (x, y). Faça um esboço desta cônica.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
7x^{2}+6\sqrt{3}\,xy+13y^{2}-16=0
e pede: identificar que tipo de cônica é, pôr a equação na forma reduzida (forma canônica), e determinar centro, vértices, focos, distância focal, excentricidade, excentricidade (se pediu “excent cidade” entendo como excentricidade), assíntotas (se houver), pontos do eixo conjugado (co-vértices), tudo em relação ao sistema (x,y). Também pede um esboço.
Informações relevantes dadas:
Coeficientes quadráticos: A=7, B=6\sqrt{3}, C=13.
Não há termos lineares em x ou y (logo o centro está em (0,0) a verificar).
termo constante: -16.
Passo 2
Classificação da cônica pelo discriminante quadrático. Para uma cônica geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\dots=0 usamos o discriminante \Delta = B^{2}-4AC:
Como \Delta<0 e A e C têm o mesmo sinal positivo, a cônica é uma elipse. (Explicação rápida: \Delta<0 indica elipse ou círculo quando não há partes degeneradas; A e C positivos confirmam elipse fechada.)
Passo 3
Centro da elipse. Como não há termos lineares em x ou y, o centro é a origem:
\text{centro}=(0,0).
Passo 4
Para pôr a equação na forma reduzida precisamos eliminar o termo misto xy. A maneira sistemática e limpa é diagonalizar a forma quadrática associada. Escrevemos a forma quadrática em matrix:
Interpretação: após uma rotação ortogonal adequada, a forma quadrática fica diagonal com coeficientes \lambda_{1}=16 e \lambda_{2}=4.
Passo 6
Encontrar as direções principais (autovetores). Para \lambda_{2}=4 (o menor autovalor, que dará o maior semi-eixo — atenção a essa relação que vou explicar) resolvemos (Q-4I)\mathbf{v}=0:
Da primeira linha obtemos 3p+3\sqrt{3}\,q=0\Rightarrow p=-\sqrt{3}\,q. Um autovetor é, por exemplo, (- \sqrt{3},\,1). Normalizando (norma =2) obtemos o vetor unitário na direção do eixo maior (porque \lambda_{2}=4 é o menor autovalor):
As direções \hat{u} e \hat{v} são ortogonais e correspondem aos eixos principal e conjugado.
Comentário importante (intuição): se a forma diagonalizada fica \lambda_{1}U^{2}+\lambda_{2}V^{2}=16, então dividindo por 16 obtemos U^{2}/(16/\lambda_{1})+V^{2}/(16/\lambda_{2})=1. Assim as semi‑distâncias ao longo das direções \hat{u},\hat{v} são \sqrt{16/\lambda_i}. O menor autovalor dá o maior denominador 16/\lambda, por isso o menor \lambda corresponde ao semi‑eixo maior.]
Passo 7
Definir coordenadas principais (u,v) como projeções nas direções unitárias escolhidas. Tomando a convenção em que u é a coordenada ao longo do eixo maior (autovetor de \lambda_{2}=4) e v ao longo do eixo menor (autovetor de \lambda_{1}=16), podemos escolher as unidades positivas
(Estas são simplesmente os opostos dos vetores anteriores; ambas as escolhas definem as mesmas retas e facilitam sinais nos resultados.) Então as coordenadas principais são as projeções
A distância focal (entre os focos) é 2c=2\sqrt{3}.]
Passo 12
Excentricidade. Pela definição
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Numericamente e\approx 0{,}8660. (Interpretação: 0<e<1 como esperado para elipse.)
Passo 13
Equações das retas dos eixos principal (eixo maior) e conjugado (eixo menor), no sistema (x,y). O eixo maior é a reta que passa pela origem na direção \hat{u}. A inclinação de \hat{u}=(\sqrt{3}/2,-1/2) é -\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Portanto a equação do eixo maior é
y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x,
ou multiplicando: x+\sqrt{3}\,y=0.
O eixo conjugado (menor) tem direção \hat{v}=(1/2,\sqrt{3}/2) com inclinação \sqrt{3}, logo sua equação é
y=\sqrt{3}\,x,
ou -\sqrt{3}x + y=0 (ou \sqrt{3}x - y =0, sinais equivalentes).
Passo 14
Assíntotas: a elipse é uma curva fechada e não tem assíntotas. Então:
\boxed{\text{assíntotas: nenhuma.}}í
Passo 15
Resumo geométrico e esboço (instruções para desenhar): centro em (0,0). Eixo maior de comprimento 2a=4 ao longo da reta x+\sqrt{3}y=0, com vértices em (\sqrt{3},-1) e (-\sqrt{3},1). Eixo menor de comprimento 2b=2 ao longo da reta y=\sqrt{3}x, com co‑vértices em \left(\pm\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right). Focos em \left(\pm\dfrac{3}{2},\mp\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right). Excentricidade e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Para o esboço: marque o centro, as duas retas de direção dos eixos, em seguida localize os vértices e co‑vértices nas posições indicadas e desenhe a elipse suave que passa por esses pontos (sem assíntotas).
Resposta
Forma reduzida: \dfrac{u^{2}}{4}+\dfrac{v^{2}}{1}=1 com u=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x-\dfrac{1}{2}y,\\ v=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}y.
Centro: (0,0).
Vértices: (\sqrt{3},-1) e (-\sqrt{3},1).
Co‑vértices (eixo conjugado): \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) e \left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Focos: \left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) e \left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Distância focal (entre focos): 2c=2\sqrt{3}.
Eccentricidade: e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Equações dos eixos principais: eixo maior x+\sqrt{3}\,y=0; eixo menor y=\sqrt{3}\,x.
Assíntotas: nenhuma.