Exercício 7) Dado o conjunto Σ descreva-o nas formas analítica completa e geométrica.
Σ:\left\{\begin{array}{l}z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \\\ (x, y) \in[0,2] \times[0,2]\end{array} \quad\right..

Passo 1

O enunciado dá a fórmula de z em função de x e y e restringe (x,y) ao quadrado fechado [0,2]\times[0,2]. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Dado: z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}
  • Condição sobre (x,y): (x,y)\in[0,2]\times[0,2],\quad\text{i.e. }0\le x\le2,\;0\le y\le2.
O que o enunciado pede: descrever Σ na forma analítica completa (uma descrição em forma de conjunto) e na forma geométrica (que figura geométrica é e qual porção dela aparece aqui).

Passo 2

Forma analítica completa: escrever Σ como um subconjunto de \mathbb{R}^{3} usando notação de conjunto (set-builder). A maneira direta e completa de dizer o conjunto é
\Sigma=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2},\;0\le x\le2,\;0\le y\le2\}.
Explicando cada parte:
  • (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} significa que estamos descrevendo pontos no espaço tridimensional.
  • A condição z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2} fixa a coordenada z em função de x e y.
  • As desigualdades 0\le x\le2,\;0\le y\le2 dizem que só tomamos os pontos dessa superfície cujo pé no plano xy está dentro do quadrado [0,2]\times[0,2].

Passo 3

Forma paramétrica (ou alternativa analítica útil): é comum parametrizar superfícies que são gráficos de uma função z=f(x,y). Aqui
f(x,y)=(x-1)^{2}+(y-1)^{2},
portanto uma representação paramétrica é
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\bigr),\qquad (x,y)\in[0,2]\times[0,2].
Isto é equivalente à descrição em set-builder acima, mas é prática para visualizar e calcular pontos.

Passo 4

Identificar a forma da superfície (intuição e propriedade fundamental). A expressão z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2} é a equação de um paraboloide circular com eixo paralelo ao eixo z e vértice deslocado para (x,y,z)=(1,1,0). Para ver isso:
  • Se fixarmos um valor z_{0}\ge0, as curvas de nível são dadas por
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=z_{0},
que são círculos de centro (1,1) e raio \sqrt{z_{0}}. Isso mostra que, para cada altura z_{0}, a interseção com o plano z=z_{0} é um círculo centrado em (1,1,z_{0}) — característica de um paraboloide circular.

Passo 5

Determinar os extremos de z sobre o domínio (para entender que porção do paraboloide aparece). Como z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2} é soma de quadrados:
  • O mínimo ocorre em x=1,\;y=1 (pois cada quadrado é \ge0), então \min z=0\quad\text{em }(x,y)=(1,1).
  • O máximo no domínio fechado [0,2]\times[0,2] ocorre nos pontos do domínio mais distantes do centro (1,1). Os cantos do quadrado são (0,0),(0,2),(2,0),(2,2). Para qualquer canto,
z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1^{2}+1^{2}=2.
Logo \max z=2 e ocorre nos quatro cantos. Assim o intervalo de alturas presentes é [0,2].

Passo 6

Descrição geométrica final (linguagem acessível): Σ é a porção do paraboloide circular de vértice em (1,1,0) e abertura para cima, limitada verticalmente entre z=0 e z=2, e horizontalmente pelos limites do quadrado [0,2]\times[0,2] no plano xy. Em outras palavras, é o “chapéu” (ou laje curvada) do paraboloide centrado em (1,1), sobreposto exatamente ao quadrado [0,2]\times[0,2] no plano xy. Para níveis baixos 0\le z\le1 as interseções horizontais são círculos completos contidos no quadrado; para 1<z\le2 as interseções horizontais são partes de círculos (arcos) que tocam ou cortam as bordas do quadrado.

Resposta

\Sigma=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2},\;0\le x\le2,\;0\le y\le2\}
Geometricamente: Σ é o trecho do paraboloide circular de vértice em (1,1,0) e eixo vertical, restrito ao domínio projetado (x,y)\in[0,2]\times[0,2]; o z varia em [0,2].

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