Exercício 7) Dado o conjunto
descreva-o nas formas analítica completa e geométrica.
.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula de
em função de
e
e restringe
ao quadrado fechado
. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Dado:
- Condição sobre
:
O que o enunciado pede: descrever
na forma analítica completa (uma descrição em forma de conjunto) e na forma geométrica (que figura geométrica é e qual porção dela aparece aqui).
Passo 2
Forma analítica completa: escrever
como um subconjunto de
usando notação de conjunto (set-builder). A maneira direta e completa de dizer o conjunto é
Explicando cada parte:
-
significa que estamos descrevendo pontos no espaço tridimensional. - A condição
fixa a coordenada em função de e . - As desigualdades
dizem que só tomamos os pontos dessa superfície cujo pé no plano está dentro do quadrado .
Passo 3
Forma paramétrica (ou alternativa analítica útil): é comum parametrizar superfícies que são gráficos de uma função
. Aqui
portanto uma representação paramétrica é
Isto é equivalente à descrição em set-builder acima, mas é prática para visualizar e calcular pontos.
Passo 4
Identificar a forma da superfície (intuição e propriedade fundamental). A expressão
é a equação de um paraboloide circular com eixo paralelo ao eixo
e vértice deslocado para
. Para ver isso:
- Se fixarmos um valor
, as curvas de nível são dadas por
que são círculos de centro
e raio
. Isso mostra que, para cada altura
, a interseção com o plano
é um círculo centrado em
— característica de um paraboloide circular.
Passo 5
Determinar os extremos de
sobre o domínio (para entender que porção do paraboloide aparece). Como
é soma de quadrados:
- O mínimo ocorre em
(pois cada quadrado é ), então - O máximo no domínio fechado
ocorre nos pontos do domínio mais distantes do centro . Os cantos do quadrado são . Para qualquer canto,
Logo
e ocorre nos quatro cantos. Assim o intervalo de alturas presentes é
.
Passo 6
Descrição geométrica final (linguagem acessível):
é a porção do paraboloide circular de vértice em
e abertura para cima, limitada verticalmente entre
e
, e horizontalmente pelos limites do quadrado
no plano
. Em outras palavras, é o “chapéu” (ou laje curvada) do paraboloide centrado em
, sobreposto exatamente ao quadrado
no plano
. Para níveis baixos
as interseções horizontais são círculos completos contidos no quadrado; para
as interseções horizontais são partes de círculos (arcos) que tocam ou cortam as bordas do quadrado.
Resposta
Geometricamente: