Exercício 7) Dado o conjunto Σ descreva-o nas formas analítica completa e geométrica.
Σ:\left\{\begin{array}{l}z-x^{2}-y^{2}=0 \\\ (x, y) \in[0,2] \times[0,2]\end{array} \quad\right..

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \Sigma definido por duas informações e pede que ele seja descrito em duas formas:
  • Informação 1: a equação z - x^{2} - y^{2} = 0.
  • Informação 2: o domínio dos dois primeiros coordenados: (x,y)\in[0,2]\times[0,2].
O que o enunciado pede:
  • Descrever \Sigma na forma analítica completa (ou seja, escrever o conjunto de pontos em \mathbb{R}^{3} com todas as condições explícitas).
  • Descrever \Sigma geometricamente (ou seja, dizer que superfície é, qual a sua aparência, como se parametriza, quais são os limites, etc.).

Passo 2

Entendendo a equação: a igualdade z - x^{2} - y^{2}=0 é equivalente a
z = x^{2} + y^{2}.
Isto significa que z é dado como uma função dos pares (x,y). Para completar a descrição analítica precisamos também incluir as restrições em x e y que o enunciado deu. Assim, a forma analítica completa é simplesmente a descrição do gráfico dessa função sobre o quadrado dado.

Passo 3

Escrevendo a forma analítica completa de modo claro e rigoroso:
\Sigma=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\\ \middle|\\ z = x^{2}+y^{2},\\\ 0\le x\le 2,\\\ 0\le y\le 2\right\}.
Aqui cada símbolo significa:
  • (x,y,z) é um ponto em \mathbb{R}^{3};
  • a condição z = x^{2}+y^{2} fixa a coordenada z como soma dos quadrados de x e y;
  • as desigualdades 0\le x\le 2 e 0\le y\le 2 limitam a região de definição ao quadrado no plano xy.

Passo 4

Parametrização (forma analítica alternativa muito útil em provas): definir parâmetros u,v correspondendo a x,y. Uma parametrização conveniente é
\mathbf{r}(u,v)=(u,\;v,\;u^{2}+v^{2}),\qquad (u,v)\in[0,2]\times[0,2].
Isso quer dizer que \Sigma é a imagem do quadrado [0,2]\times[0,2] pelo mapa \mathbf{r}. Explicar variáveis: u e v representam diretamente as coordenadas x e y; para cada par (u,v) a altura z é u^{2}+v^{2}.

Passo 5

Descrição geométrica detalhada e intuitiva:
  • A superfície sem restrição z=x^{2}+y^{2} é um paraboloide circular que abre para cima com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo do eixo z.
  • A restrição (x,y)\in[0,2]\times[0,2] corta esse paraboloide, ficando apenas a parte sobre o quadrado do primeiro quadrante. Geometricamente, \Sigma é um “retalho” (um patch) do paraboloide acima do quadrado de vértices (0,0),(2,0),(0,2),(2,2) no plano xy.
  • Valores extremos de z sobre esse retalho: mínimo z_{\min}=0 em (0,0,0) e máximo z_{\max}=2^{2}+2^{2}=8 em (2,2,8).
  • As arestas do quadrado no plano xy geram quatro curvas de contorno em \Sigma: \begin{aligned} &\text{Aresta }x=0:\\ (0,y,y^{2}),\\ y\in[0,2],\\\ &\text{Aresta }x=2:\\ (2,y,4+y^{2}),\\ y\in[0,2],\\\ &\text{Aresta }y=0:\\ (x,0,x^{2}),\\ x\in[0,2],\\\ &\text{Aresta }y=2:\\ (x,2,x^{2}+4),\\ x\in[0,2]. \end{aligned}
  • Visualmente: imagine uma superfície parabólica como uma tigela; pegue a parte da “tampa” dessa tigela que fica sobre o quadrado [0,2]\times[0,2] no piso xy — essa é \Sigma.

Passo 6

Dica rápida para prova: ao ver uma equação do tipo z=f(x,y) já reconheça que é o gráfico de uma função de duas variáveis. Em seguida verifique o domínio em (x,y) dado no enunciado; escrever a forma analítica completa é só juntar essas duas informações. Para a descrição geométrica, diga que superfície é (aqui: paraboloide) e qual parte dela foi escolhida (aqui: sobre o quadrado do primeiro quadrante), mencione extremos e contornos se pedirem.

Resposta

\Sigma=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\\ \middle|\\ z=x^{2}+y^{2},\\\ 0\le x\le2,\\\ 0\le y\le2\right\}
Geométrica: \Sigma é o patch do paraboloide z=x^{2}+y^{2} sobre o quadrado [0,2]\times[0,2] no plano xy; parametrização \mathbf{r}(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2}), (u,v)\in[0,2]\times[0,2]; z varia de 0 a 8.

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