Estudar a posição relativa das retas r1: x2=y-1-1=z e r2:lx=2-4 t y=2 t z=1-2 t.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa de duas retas em R^3:
r1:x2=y-1-1=z e
r2: x=2-4t, y=2t, z=1-2t
O conteúdo envolve representação paramétrica de reta, comparação de vetores diretores e teste de pertencimento de um ponto.

Passo 2

Escrevendo r1 em forma paramétrica, chamamos o parâmetro comum de lambda. Então
x2=y-1-1=z=lambda
Daí
x=2lambda, y-1=-lambdaimplies y=1-lambda, z=lambda
Em forma vetorial,
r1:;(x,y,z) = (0,1,0) + lambda,(2,-1,1),
com ponto P1=(0,1,0) e vetor diretor v1=(2,-1,1).

Passo 3

Para r2 já temos a forma vetorial
r2:;(x,y,z) = (2,0,1) + t,(-4,2,-2),
com ponto P2=(2,0,1) e vetor diretor v2=(-4,2,-2).

Passo 4

Comparando v1=(2,-1,1) e v2=(-4,2,-2), vemos que
v2 = -2,(2,-1,1) = -2,v1
Logo os vetores diretores são múltiplos e as retas são paralelas (ou coincidentes).

Passo 5

Para distinguir paralelas de coincidentes, verificamos se P2 pertence a r1. Precisamos achar lambda tal que
(2,0,1) = (0,1,0) + lambda,(2,-1,1)
Da coordenada x: 2=2lambdaimplieslambda=1.
Da coordenada y: 0 = 1 + (-1)cdot1 = 0.
Da coordenada z: 1 = 0 + 1cdot1 = 1.
Todas conferem com lambda=1, logo P2in r1.

Resposta

As retas são coincidentes.

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