Estudar a posição relativa das retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a posição relativa de duas retas em
R^3 :
r1:x2=y-1-1=z e
O conteúdo envolve representação paramétrica de reta, comparação de vetores diretores e teste de pertencimento de um ponto.
Passo 2
Escrevendo
r1 em forma paramétrica, chamamos o parâmetro comum de
lambda . Então
Daí
Em forma vetorial,
com ponto
P1=(0,1,0) e vetor diretor
v1=(2,-1,1) .
Passo 3
Para
r2 já temos a forma vetorial
com ponto
P2=(2,0,1) e vetor diretor
v2=(-4,2,-2) .
Passo 4
Comparando
v1=(2,-1,1) e
v2=(-4,2,-2) , vemos que
Logo os vetores diretores são múltiplos e as retas são paralelas (ou coincidentes).
Passo 5
Para distinguir paralelas de coincidentes, verificamos se
P2 pertence a
r1 . Precisamos achar
lambda tal que
Da coordenada
x :
2=2lambdaimplieslambda=1 .
Da coordenaday :
0 = 1 + (-1)cdot1 = 0 .
Da coordenadaz :
1 = 0 + 1cdot1 = 1 .
Todas conferem comlambda=1 , logo
P2in r1 .
Da coordenada
Da coordenada
Todas conferem com
Resposta
As retas são coincidentes.