Considere 2 vórtices, girando em sentidos oposto, com mesma intensidade
e centros posicionados em (-a, 0 ) e (
).
Qual a função corrente do escoamento?
Qual a função corrente do escoamento?
Passo 1
O enunciado diz: há dois vórtices pontuais com mesma intensidade
, girando em sentidos opostos, com centros em
e
. A pergunta é: qual a função corrente
do escoamento? As opções dadas são:
Lista de informações relevantes do enunciado:
- Dois vórtices pontuais, mesmos valores absolutos de circulação:
(mesma intensidade). - Girando em sentidos opostos (portanto as circulações têm sinais opostos).
- Centros em
e . - Queremos a função corrente
.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (com explicação): a função corrente
de um escoamento bidimensional é uma função cuja derivada dá as componentes do campo de velocidade:
Isto é útil porque, se conhecemos
, temos imediatamente o campo de velocidade. Para um vórtice pontual localizado em
com circulação
, a função corrente (usando a convenção que vou adotar, consistente com as fórmulas abaixo) é
onde
é a distância do ponto
ao centro do vórtice. Explicação curta de por que: essa
produz o campo de velocidade tangencial típico de um vórtice, como mostro no próximo passo.
Passo 3
Verificação rápida da fórmula do passo anterior (para ganhar confiança): tomo
com
(vórtice no eixo origem). Então
Logo
. De modo análogo
Em coordenadas polares isso corresponde a velocidade tangencial
, que é justamente a velocidade de um vórtice pontual. Então a fórmula está correta e a escolha do sinal em
está consistente com a convenção usada aqui (vórtice com
gera rotação no sentido anti-horário).
Passo 4
Superposição (princípio usado): em fluxo potencial/incompressível linear, as funções corrente somam-se. Portanto, para dois vórtices as
individuais se somam com os sinais das respectivas circulações. Como os vórtices giram em sentidos opostos e têm mesma intensidade
, suas circulações são
e
. Podemos escolher (sem perda de generalidade) que o vórtice em
tem circulação
(anti-horário) e o vórtice em
tem circulação
(horário). Assim:
Passo 5
Escrevendo as contribuições usando a fórmula do passo 2:
- Distância ao vórtice em
:
- Distância ao vórtice em
:
As funções corrente individuais são
Somando:
Passo 6
Substituindo
e
nas expressões com as coordenadas:
Podemos escrever isso como (usando que
):
Essa expressão coincide exatamente com a primeira opção dada.
Passo 7
Verificação de equivalência entre as duas primeiras opções (só para ficar tranquilo): a segunda opção dada é
Mas usando propriedades dos logaritmos,
logo a segunda opção é algebraicamente idêntica à primeira. A terceira opção
é falsa, porque a superposição dos dois vórtices com sinais opostos não cancela a função corrente em todo o plano (elas se somam de modo a dar a razão das distâncias acima).