Considere 2 vórtices, girando em sentidos oposto, com mesma intensidade Γ e centros posicionados em (-a, 0 ) e ( a, 0 ).
Qual a função corrente do escoamento?
\bigcirc \psi=\frac{\Gamma}{2 \pi} \ln \sqrt{\frac{(x-a)^{2}+y^{2}}{(x+a)^{2}+y^{2}}}
\bigcirc \psi=\frac{-\Gamma}{2 \pi} \ln \sqrt{\frac{(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}
\bigcirc \psi=0

Passo 1

O enunciado diz: há dois vórtices pontuais com mesma intensidade \Gamma, girando em sentidos opostos, com centros em (-a,0) e (a,0). A pergunta é: qual a função corrente \psi(x,y) do escoamento? As opções dadas são:
\psi=\frac{\Gamma}{2 \pi} \ln \sqrt{\frac{(x-a)^{2}+y^{2}}{(x+a)^{2}+y^{2}}}
\psi=\frac{-\Gamma}{2 \pi} \ln \sqrt{\frac{(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}
\psi=0
Lista de informações relevantes do enunciado:
  • Dois vórtices pontuais, mesmos valores absolutos de circulação: \Gamma (mesma intensidade).
  • Girando em sentidos opostos (portanto as circulações têm sinais opostos).
  • Centros em (-a,0) e (a,0).
  • Queremos a função corrente \psi(x,y).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (com explicação): a função corrente \psi de um escoamento bidimensional é uma função cuja derivada dá as componentes do campo de velocidade:
u=\frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Isto é útil porque, se conhecemos \psi, temos imediatamente o campo de velocidade. Para um vórtice pontual localizado em (x_0,y_0) com circulação \Gamma, a função corrente (usando a convenção que vou adotar, consistente com as fórmulas abaixo) é
\psi_{\text{vórtice em }(x_0,y_0)}=-\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r,ó
onde
r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}
é a distância do ponto (x,y) ao centro do vórtice. Explicação curta de por que: essa \psi produz o campo de velocidade tangencial típico de um vórtice, como mostro no próximo passo.

Passo 3

Verificação rápida da fórmula do passo anterior (para ganhar confiança): tomo \psi=-\dfrac{\Gamma}{2\pi}\ln r com r=\sqrt{x^2+y^2} (vórtice no eixo origem). Então
\frac{\partial \psi}{\partial y}=-\frac{\Gamma}{2\pi}\frac{1}{r}\frac{\partial r}{\partial y}=-\frac{\Gamma}{2\pi}\frac{1}{r}\cdot\frac{y}{r}=-\frac{\Gamma}{2\pi}\frac{y}{r^{2}}.
Logo u=\dfrac{\partial\psi}{\partial y}=-\dfrac{\Gamma}{2\pi}\dfrac{y}{r^{2}}. De modo análogo
v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}=\frac{\Gamma}{2\pi}\frac{x}{r^{2}}.
Em coordenadas polares isso corresponde a velocidade tangencial v_\theta=\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, que é justamente a velocidade de um vórtice pontual. Então a fórmula está correta e a escolha do sinal em \psi está consistente com a convenção usada aqui (vórtice com \Gamma>0 gera rotação no sentido anti-horário).

Passo 4

Superposição (princípio usado): em fluxo potencial/incompressível linear, as funções corrente somam-se. Portanto, para dois vórtices as \psi individuais se somam com os sinais das respectivas circulações. Como os vórtices giram em sentidos opostos e têm mesma intensidade \Gamma, suas circulações são \Gamma e -\Gamma. Podemos escolher (sem perda de generalidade) que o vórtice em (-a,0) tem circulação +\Gamma (anti-horário) e o vórtice em (a,0) tem circulação -\Gamma (horário). Assim:
\psi(x,y)=\psi_{(-a,0)}(x,y)+\psi_{(a,0)}(x,y).

Passo 5

Escrevendo as contribuições usando a fórmula do passo 2:
  • Distância ao vórtice em (-a,0):
r_1=\sqrt{(x-(-a))^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x+a)^{2}+y^{2}}.
  • Distância ao vórtice em (a,0):
r_2=\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}}.
As funções corrente individuais são
\psi_{(-a,0)}=-\frac{(+\Gamma)}{2\pi}\ln r_1=-\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r_1,
\psi_{(a,0)}=-\frac{(-\Gamma)}{2\pi}\ln r_2=+\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r_2.
Somando:
\psi(x,y)=-\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r_1+\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r_2=\frac{\Gamma}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1}.

Passo 6

Substituindo r_1 e r_2 nas expressões com as coordenadas:
\psi(x,y)=\frac{\Gamma}{2\pi}\ln\left(\frac{\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x+a)^{2}+y^{2}}}\right).
Podemos escrever isso como (usando que \ln(\sqrt{A/B})=\ln\sqrt{\dfrac{A}{B}}):
\psi(x,y)=\frac{\Gamma}{2\pi}\ln\sqrt{\frac{(x-a)^{2}+y^{2}}{(x+a)^{2}+y^{2}}}.
Essa expressão coincide exatamente com a primeira opção dada.

Passo 7

Verificação de equivalência entre as duas primeiras opções (só para ficar tranquilo): a segunda opção dada é
\psi=\frac{-\Gamma}{2 \pi}\ln\sqrt{\frac{(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}.
Mas usando propriedades dos logaritmos,
-\ln\sqrt{\frac{(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}=\ln\sqrt{\frac{(x-a)^{2}+y^{2}}{(x+a)^{2}+y^{2}}},
logo a segunda opção é algebraicamente idêntica à primeira. A terceira opção \psi=0 é falsa, porque a superposição dos dois vórtices com sinais opostos não cancela a função corrente em todo o plano (elas se somam de modo a dar a razão das distâncias acima).

Resposta

\psi=\frac{\Gamma}{2 \pi} \ln \sqrt{\frac{(x-a)^{2}+y^{2}}{(x+a)^{2}+y^{2}}}

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