Considere 2 vórtices, girando em sentidos oposto, com mesma intensidade Γ e centros posicionados em (-a, 0 ) e ( a, 0 ).
Qual a forma da linha de corrente com valor \psi(x, y)=0 ?
\bigcirc reta vertical
\bigcirc reta horizontal
\bigcirc reta diagonal
\bigcirc parabola com vértice na origem
\bigcirc um arco tangente

Passo 1

O enunciado pede: qual é a forma da linha de corrente cujo valor é \psi(x,y)=0 para um sistema com duas singularidades (vórtices) com as seguintes informações fornecidas:
  • Dois vórtices com mesma intensidade (magnitude) \Gamma.
  • Os vórtices giram em sentidos opostos (ou seja, as circulações têm sinais opostos).
  • Centros posicionados em (-a,0) e (a,0).
  • Queremos a linha de corrente (curva no plano xy) definida por \psi(x,y)=0.
    As alternativas possíveis dadas são: reta vertical, reta horizontal, reta diagonal, parábola com vértice na origem, ou um arco tangente.

Passo 2

Conceito-chave: streamfunction (função de corrente) de um vórtice pontual. Vou explicar direitinho porque isso é o que usamos aqui.
Para um vórtice pontual de circulação (intensidade) \Gamma localizado na origem, uma escolha comum para a função de corrente é
\psi(r) = -\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r,
onde r é a distância do ponto considerado ao centro do vórtice. O que isso significa e por que usar isso?
  • \psi(x,y) é uma função cujo contorno (curvas de nível) são as linhas de corrente do fluxo; cada curva \psi=\text{constante} é uma linha de corrente.
  • Em coordenadas cartesianas, r=\sqrt{x^2+y^2}. Se \psi depende só de r, as curvas \psi=\text{constante} são círculos centrados na origem — exatamente o que acontece ao redor de um vórtice: as partículas giram em círculos concêntricos.
  • A constante multiplicativa e o sinal foram escolhidos para que as componentes de velocidade derivadas de \psi coincidam com o campo de velocidade conhecido do vórtice (velocidade tangencial proporcional a 1/r). Não precisa decorar demais: o importante é que a contribuição de um vórtice à \psi é proporcional a \ln r (com fator -\Gamma/(2\pi)).

Passo 3

Superposição: para fluxo potencial (incompressível e irrotacional fora dos pólos), as funções de corrente se somam. Então, para dois vórtices, cada um contribui com sua função de corrente, e a função total é a soma das duas contribuições. Precisamos só atentar ao sinal da circulação de cada vórtice (um será +\Gamma, o outro -\Gamma, por serem sentidos opostos).
Escolhendo, por exemplo, o vórtice em (-a,0) com circulação +\Gamma e o vórtice em (a,0) com circulação -\Gamma, temos:
  • Distância ao vórtice em (-a,0): r_1 = \sqrt{(x+a)^2 + y^2}.
  • Distância ao vórtice em (a,0): r_2 = \sqrt{(x-a)^2 + y^2}.
As contribuições individuais (usando a fórmula do passo anterior) são
\psi_1 = -\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r_1 \qquad\text{e}\qquad \psi_2 = -\frac{-\Gamma}{2\pi}\ln r_2 = \frac{\Gamma}{2\pi}\ln r_2.
Então a função de corrente total é
\psi(x,y) = \psi_1 + \psi_2 = \frac{\Gamma}{2\pi}\bigl(\ln r_2 - \ln r_1\bigr).

Passo 4

Agora impondo a condição pedida: queremos a curva onde \psi(x,y)=0. A equação fica
\frac{\Gamma}{2\pi}\bigl(\ln r_2 - \ln r_1\bigr)=0.
Como \Gamma \neq 0, isso simplifica para
\ln r_2 - \ln r_1 = 0.
Usando propriedades do logaritmo, isso é equivalente a
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{r_2}{r_1}=1.
Portanto
r_2 = r_1.

Passo 5

Interpretando r_1=r_2: os pontos do plano equidistantes de (a,0) e (-a,0) formam a mediatriz do segmento que une esses dois pontos. A mediatriz de dois pontos simétricos em relação à origem é a reta perpendicular ao segmento que os une e que passa pelo ponto médio (o ponto médio aqui é a origem). Como os dois centros estão em (-a,0) e (a,0), o segmento entre eles é o trecho do eixo x entre -a e a; sua mediatriz é a reta perpendicular a esse segmento passando pela origem — isto é, o eixo y.
Algebricamente, impomos
\sqrt{(x-a)^2 + y^2} = \sqrt{(x+a)^2 + y^2}.
Elevando ao quadrado e simplificando dá
(x-a)^2 + y^2 = (x+a)^2 + y^2 \quad\Longrightarrow\quad (x-a)^2=(x+a)^2.
Desenvolvendo,
x^2 - 2ax + a^2 = x^2 + 2ax + a^2 \quad\Longrightarrow\quad -2ax = 2ax \quad\Longrightarrow\quad 4ax = 0.
Como a\neq 0 (os vórtices estão separados), concluímos x=0. Não há restrição sobre y, logo a curva é a reta vertical que passa pela origem, ou seja, o eixo y.

Passo 6

Interpretação física e resumo: a linha de corrente \psi=0 é a linha ao longo da qual as contribuições dos dois vórtices se cancelam — geometricamente, os pontos equidistantes dos dois centros. Com dois vórtices de sinais opostos e mesmos módulos colocados simetricamente no eixo x, essa curva de cancelamento é a mediatriz do segmento que liga os centros, i.e., a reta vertical x=0.

Resposta

reta vertical x=0

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