Considere 2 vórtices, girando em sentidos oposto, com mesma intensidade
e centros posicionados em (-a, 0 ) e (
).
Qual a forma da linha de corrente com valor
?
reta vertical
reta horizontal
reta diagonal
parabola com vértice na origem
um arco tangente
Qual a forma da linha de corrente com valor
Passo 1
O enunciado pede: qual é a forma da linha de corrente cujo valor é
para um sistema com duas singularidades (vórtices) com as seguintes informações fornecidas:
- Dois vórtices com mesma intensidade (magnitude)
. - Os vórtices giram em sentidos opostos (ou seja, as circulações têm sinais opostos).
- Centros posicionados em
e . - Queremos a linha de corrente (curva no plano
) definida por .
As alternativas possíveis dadas são: reta vertical, reta horizontal, reta diagonal, parábola com vértice na origem, ou um arco tangente.
Passo 2
Conceito-chave: streamfunction (função de corrente) de um vórtice pontual. Vou explicar direitinho porque isso é o que usamos aqui.
Para um vórtice pontual de circulação (intensidade) localizado na origem, uma escolha comum para a função de corrente é
Para um vórtice pontual de circulação (intensidade)
onde
é a distância do ponto considerado ao centro do vórtice. O que isso significa e por que usar isso?
-
é uma função cujo contorno (curvas de nível) são as linhas de corrente do fluxo; cada curva é uma linha de corrente. - Em coordenadas cartesianas,
. Se depende só de , as curvas são círculos centrados na origem — exatamente o que acontece ao redor de um vórtice: as partículas giram em círculos concêntricos. - A constante multiplicativa e o sinal foram escolhidos para que as componentes de velocidade derivadas de
coincidam com o campo de velocidade conhecido do vórtice (velocidade tangencial proporcional a ). Não precisa decorar demais: o importante é que a contribuição de um vórtice à é proporcional a (com fator ).
Passo 3
Superposição: para fluxo potencial (incompressível e irrotacional fora dos pólos), as funções de corrente se somam. Então, para dois vórtices, cada um contribui com sua função de corrente, e a função total é a soma das duas contribuições. Precisamos só atentar ao sinal da circulação de cada vórtice (um será
, o outro
, por serem sentidos opostos).
Escolhendo, por exemplo, o vórtice em
com circulação
e o vórtice em
com circulação
, temos:
- Distância ao vórtice em
: . - Distância ao vórtice em
: .
As contribuições individuais (usando a fórmula do passo anterior) são
Então a função de corrente total é
Passo 4
Agora impondo a condição pedida: queremos a curva onde
. A equação fica
Como
, isso simplifica para
Usando propriedades do logaritmo, isso é equivalente a
Portanto
Passo 5
Interpretando
: os pontos do plano equidistantes de
e
formam a mediatriz do segmento que une esses dois pontos. A mediatriz de dois pontos simétricos em relação à origem é a reta perpendicular ao segmento que os une e que passa pelo ponto médio (o ponto médio aqui é a origem). Como os dois centros estão em
e
, o segmento entre eles é o trecho do eixo
entre
e
; sua mediatriz é a reta perpendicular a esse segmento passando pela origem — isto é, o eixo
.
Algebricamente, impomos
Elevando ao quadrado e simplificando dá
Desenvolvendo,
Como
(os vórtices estão separados), concluímos
. Não há restrição sobre
, logo a curva é a reta vertical que passa pela origem, ou seja, o eixo
.
Passo 6
Interpretação física e resumo: a linha de corrente
é a linha ao longo da qual as contribuições dos dois vórtices se cancelam — geometricamente, os pontos equidistantes dos dois centros. Com dois vórtices de sinais opostos e mesmos módulos colocados simetricamente no eixo
, essa curva de cancelamento é a mediatriz do segmento que liga os centros, i.e., a reta vertical
.
Resposta
reta vertical